(5,00 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CA$. Tia phân giác của góc $\widehat{ADC}$ cắt $AC$ tại $N$, tia phân giác của góc $\widehat{BDC}$ cắt $BC$ tại $M$. Gọi $O$ là giao điểm của $MN$ và $CD$, hai đường thẳng $OE$ và $AC$ cắt nhau tại $P$, hai đường thẳng $OF$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh: $\frac{1}{EF}+\frac{1}{DC}=\frac{2}{MN}$ và $CD=PQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Câu 4.

Chọn hệ trục tọa độ: $D(0;0)$, $C(c;0)$ với $c=CD>0$. Vì $D$ là trung điểm $AB$ nên đặt $A(p;q)$, $B(-p;-q)$ với $q\ne 0$. Đặt $t=\frac{AD}{DC}=\frac{\sqrt{p^2+q^2}}{c}>0$.

**1) Chứng minh $\frac{1}{EF}+\frac{1}{DC}=\frac{2}{MN}$.**

Trong tam giác $ADC$, $DN$ là phân giác nên theo tính chất đường phân giác: $\frac{AN}{NC}=\frac{AD}{DC}=t$. Tương tự trong tam giác $BDC$: $\frac{BM}{MC}=\frac{BD}{DC}=t$.

Do đó
$$N=\frac{A+tC}{1+t}=\left(\frac{p+tc}{1+t};\frac{q}{1+t}\right),M=\frac{B+tC}{1+t}=\left(\frac{-p+tc}{1+t};\frac{-q}{1+t}\right).$$

Trung điểm của $MN$ là $\left(\frac{tc}{1+t};0\right)$ nằm trên $CD$, mà $O=MN\cap CD$ nên $O$ chính là trung điểm $MN$:
$$O=\left(\frac{tc}{1+t};0\right).$$

Ta có
$$MN=2\cdot \frac{\sqrt{p^2+q^2}}{1+t}=\frac{2tc}{1+t}.$$

Vì $E,F$ là trung điểm $BC,CA$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, song song và bằng nửa $AB$:
$$EF=\frac{AB}{2}=AD=\sqrt{p^2+q^2}=tc.$$

Suy ra
$$\frac{1}{EF}+\frac{1}{DC}=\frac{1}{tc}+\frac{1}{c}=\frac{1+t}{tc},\frac{2}{MN}=\frac{2}{\frac{2tc}{1+t}}=\frac{1+t}{tc}.$$

Vậy $\frac{1}{EF}+\frac{1}{DC}=\frac{2}{MN}$. $■$

**2) Chứng minh $CD=PQ$.**

Đặt $k=\frac{tc}{1+t}$, tức $O(k;0)$; và $E=\left(\frac{c-p}{2};-\frac{q}{2}\right)$, $F=\left(\frac{c+p}{2};\frac{q}{2}\right)$.

Tìm $P=OE\cap AC$: điểm trên $AC$ có dạng $A+s(C-A)=(p+s(c-p);q(1-s))$; điểm trên $OE$ có dạng $O+\lambda (E-O)$. So sánh tung độ: $q(1-s)=-\frac{\lambda q}{2}\Rightarrow \lambda =2(s-1)$. So sánh hoành độ:
$$p+s(c-p)=k+(s-1)\left[(c-p)-2k\right]⟺2ks+c-3k=0⟺s=\frac{3k-c}{2k}.$$

Hoàn toàn tương tự (do $B=-A$, $F=-E$ đối xứng qua $D$), điểm $Q=OF\cap BC$ là $B+s(C-B)$ với cùng hệ số $s=\frac{3k-c}{2k}$.

Vậy
$$P=(p+s(c-p);q(1-s)),Q=(-p+s(c+p);q(s-1)).$$

Suy ra
$$\overrightarrow{PQ}=(2p(s-1);2q(s-1))=2(s-1)\overrightarrow{DA},$$
$$PQ=2|s-1|\cdot AD.$$

Tính $s-1$: với $k=\frac{tc}{1+t}$,
$$s-1=\frac{3k-c-2k}{2k}=\frac{k-c}{2k}=\frac{\frac{tc}{1+t}-c}{\frac{2tc}{1+t}}=\frac{-\frac{c}{1+t}}{\frac{2tc}{1+t}}=-\frac{1}{2t}.$$

Do đó
$$PQ=2\cdot \frac{1}{2t}\cdot tc=c=CD.$$

Vậy $CD=PQ$. $■$

Nhận xét: $O$ là trung điểm của $MN$, và $\frac{1}{2t}=\frac{DC}{2AD}$ chính là tỉ số dẫn đến $PQ=2\cdot \frac{DC}{2AD}\cdot AD=DC$.