(4 điểm)
1. Tìm hai số thực $a,b$ sao cho ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{2x-1}+ax+b}{(x-1{)}^2}$ tồn tại hữu hạn.

2. Cho các hàm số $y=f(x)$, $y=f(x^2)$, $y=\frac{f(x)}{f(x^2)}$ có đồ thị lần lượt là $(C_1)$, $(C_2)$, $(C_3)$. Hệ số góc các tiếp tuyến của $(C_1)$, $(C_2)$, $(C_3)$ tại điểm $M$ có hoành độ $x_0=1$ lần lượt là $k_1$, $k_2$, $k_3$ thỏa mãn $k_1+2k_2=3k_3\ne 0$. Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi ba tiếp tuyến trên, biết rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $M$ đi qua điểm $A(-1;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1.** Đặt $g(x)=\sqrt{2x-1}+ax+b$. Để ${\lim }_{x\to 1}\frac{g(x)}{(x-1{)}^2}$ hữu hạn thì $g(1)=0$ và $g^{\prime }(1)=0$ (triệt tiêu bậc 2). $g(1)=1+a+b=0$; $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+a$ nên $g^{\prime }(1)=1+a=0\Rightarrow a=-1,b=0$. Khi đó khai triển $\sqrt{2x-1}=1+(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\cdots$ nên $g(x)=-\frac{(x-1{)}^2}{2}+o((x-1{)}^2)$, giới hạn bằng $-\frac{1}{2}$ (tồn tại hữu hạn). Vậy $a=-1,b=0$.

**Câu 2.** Tại $x_0=1$: $k_1=f^{\prime }(1)$; $k_2=(2x{f}^{\prime }(x^2)){|}_{x=1}=2f^{\prime }(1)=2k_1$; $k_3={\left[\frac{f^{\prime }(x)f(x^2)-f(x)\cdot 2x{f}^{\prime }(x^2)}{f^2(x^2)}\right]}_{x=1}=\frac{f^{\prime }(1)f(1)-2f(1)f^{\prime }(1)}{f^2(1)}=-\frac{k_1}{f(1)}$.

Điều kiện $k_1+2k_2=3k_3\ne 0$: $5k_1=3k_3\Rightarrow k_3=\frac{5k_1}{3}\Rightarrow -\frac{k_1}{f(1)}=\frac{5k_1}{3}\Rightarrow f(1)=-\frac{3}{5}$ (vì $k_1\ne 0$).

Tiếp tuyến $(C_1)$ tại $M\left(1;-\frac{3}{5}\right)$ đi qua $A(-1;-1)$: $k_1=\frac{-3/5+1}{1+1}=\frac{1}{5}$. Suy ra $k_1=\frac{1}{5},k_2=\frac{2}{5},k_3=\frac{1}{3}$.

Ba tiếp tuyến:
- $d_1:y=\frac{x}{5}-\frac{4}{5}$
- $d_2:y=\frac{2x}{5}-1$
- $d_3:y=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$ (tiếp tuyến $(C_3)$ tại điểm hoành độ 1 đi qua $(1;1)$ vì $\frac{f(1)}{f(1)}=1$)

Giao điểm: $d_1\cap d_2=P\left(1;-\frac{3}{5}\right)$; $d_1\cap d_3=Q(-11;-3)$; $d_2\cap d_3=R(25;9)$.

Diện tích tam giác $PQR$ (công thức shoelace):
$$S=\frac{1}{2}\left|1\cdot (-3-9)+(-11)\left(9+\frac{3}{5}\right)+25\left(-\frac{3}{5}+3\right)\right|=\frac{1}{2}\left|-12-\frac{528}{5}+60\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{288}{5}=\frac{144}{5}.$$

Kiểm tra lại: mọi giao điểm thỏa phương trình tương ứng; $S=\frac{144}{5}$.