(4,00 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=-2$ và $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $u_n<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Đặt $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Chứng minh $(v_n)$ là cấp số cộng và tính $\lim u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy nạp: $u_1=-2<0$. Giả sử $u_n<0$ thì $1-u_n>1>0$, do đó $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$ là thương của số âm với số dương nên $u_{n+1}<0$. Vậy $u_n<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (đặc biệt $u_n\ne 0$ nên $v_n$ xác định).

b) Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, do $u_n<0$ nên $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}=1+\frac{1}{u_n}$ xác định. Ta có
$$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}}=\frac{\frac{u_n}{1-u_n}+1}{\frac{u_n}{1-u_n}}=\frac{u_n+1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}=v_n-1.$$
Vậy $v_{n+1}-v_n=-1$ với mọi $n$, tức $(v_n)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $v_1=\frac{-2+1}{-2}=\frac{1}{2}$ và công sai $d=-1$.

Suy ra $v_n=\frac{1}{2}-(n-1)=\frac{3-2n}{2}$, do đó
$$\frac{1}{u_n}=v_n-1=\frac{1-2n}{2}\Rightarrow u_n=\frac{2}{1-2n}.$$
Vì $\underset{n\to \infty }{\lim }(1-2n)=-\infty$ nên $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ (dãy $u_n<0$ tiến tới $0$).