(5,00 điểm)
Một công ty tổ chức đánh giá năng lực chuyên môn cho 250 công nhân bằng cách giao 5 nhiệm vụ trong một dây chuyền có 5 nhiệm vụ chuyên môn khác nhau. Kết quả cho thấy mỗi nhiệm vụ đều được ít nhất 170 công nhân hoàn thành. Chứng minh rằng luôn tìm được hai công nhân sao cho xét chung cả hai người mọi nhiệm vụ trong số 5 nhiệm vụ trên đều có ít nhất một người hoàn thành.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_i$ là số công nhân hoàn thành nhiệm vụ $i$ ($i=1,2,3,4,5$). Theo giả thiết $a_i\ge 170$, nên số công nhân KHÔNG hoàn thành nhiệm vụ $i$ là $250-a_i\le 80$. Xét tất cả các cặp công nhân: có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{250}{2}\right)=\frac{250\cdot 249}{2}=31125$ cặp. Giả sử phản chứng: với mọi cặp công nhân, tồn tại ít nhất một nhiệm vụ mà cả hai người đều không hoàn thành (tức cặp đó 'hụt' nhiệm vụ nào đó). Với nhiệm vụ $i$, số cặp mà cả hai cùng không hoàn thành nhiệm vụ $i$ nhiều nhất là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{250-a_i}{2}\right)\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{2}\right)=3160$. Do đó tổng số cặp 'bị hụt' tính trên cả 5 nhiệm vụ không vượt quá $5\cdot 3160=15800$. Nhưng $15800<31125$, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng rằng mọi cặp đều bị hụt ít nhất một nhiệm vụ. Vậy tồn tại một cặp công nhân mà xét chung cả hai người, cả 5 nhiệm vụ đều có ít nhất một người hoàn thành. Đpcm.