(6,00 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có trực tâm $H$ và nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Điểm $R$ thay đổi trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ sao cho $AR$ không song song với $BC$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm $S,T$ phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ARS$ và $ART$ cùng tiếp xúc với $BC$. Các đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AS$ và $AT$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ tại điểm thứ hai theo thứ tự là $M$ và $N$. Chứng minh:
a) Đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $RST$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.