5.1. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$, $AC=5a$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ xuống mặt phẳng $(ABC)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ hợp với mặt đáy $(ABC)$ một góc $60^{\circ }$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Gọi $N$ là trung điểm cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BN$ và $AC$.

5.2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;8)$, $B(4;0;0)$, $C(0;6;0)$. Một điểm $M$ thay đổi thỏa mãn $M{B}^2+M{C}^2=58$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa $A$ và $M$.