(6 điểm) Cho hai đa thức $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ và $Q(x)=b_n{x}^n-b_{n-1}{x}^{n-1}-...-b_{1}x-b_0$ có hệ số thực thỏa mãn $0<b_n<\left|a_n\right|$ và $b_i>\left|a_i\right|$ với mọi $i\in \{0;1;...;n-1\}$.

a) Chứng minh rằng $Q(x)$ có đúng một nghiệm dương duy nhất.

b) Gọi $x_0$ là nghiệm dương duy nhất của $Q(x)$. Chứng minh rằng các nghiệm của $P(x)$ nếu có thì đều thuộc khoảng $\left(-x_0;x_0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1. Ký hiệu $S={\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ phần “âm” của $Q$.

a) Với $x>0$: $Q(x)=0⟺b_n{x}^n=b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_0⟺g(x):=\frac{b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}{x^n}=b_n$.
Trên $(0;+\infty )$, hàm $g(x)={\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^{i-n}$ có đạo hàm $g^{\prime }(x)={\sum }_{i=0}^{n-1}(i-n)b_i{x}^{i-n-1}<0$ (vì $i-n<0$, $b_i>0$), nên $g$ nghịch biến ngặt. Hơn nữa ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=+\infty$ (số hạng $b_0{x}^{-n}$) và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0$. Vì $b_n>0$ nên theo định lý giá trị trung gian, phương trình $g(x)=b_n$ có đúng một nghiệm $x_0>0$. Vậy $Q(x)$ có đúng một nghiệm dương duy nhất.
(Kiểm tra chéo: $Q$ có dãy hệ số $+,-,-,\dots ,-$ chỉ đúng một lần đổi dấu, nên theo định lý Descartes $Q$ có nhiều nhất một nghiệm dương — nhất quán.)

b) Từ $Q(x_0)=0$: $b_n{x}_0^n={\sum }_{i=0}^{n-1}{b}_i{x}_0^i$, suy ra với mỗi $i\le n-1$: $b_i\le b_n{x}_0^{n-i}$ (vì $b_i{x}_0^i$ là một phần của tổng dương).
Xét $x$ bất kỳ với $|x|\ge x_0$. Nếu $x=0$ thì $P(0)=a_0$ và $|a_0|<b_0$, nên $P(0)\ne 0$. Với $x\ne 0$:
$$\sum _{i=0}^{n-1}|a_i||x{|}^i<\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i|x{|}^i=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}_0^i{\left(\frac{|x|}{x_0}\right)}^i\le {\left(\frac{|x|}{x_0}\right)}^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}_0^i={\left(\frac{|x|}{x_0}\right)}^{n-1}{b}_n{x}_0^n=b_n|x{|}^{n-1}{x}_0,$$
(vì $|x|/x_0\ge 1$ nên ${\left(|x|/x_0\right)}^i\le {\left(|x|/x_0\right)}^{n-1}$). Do đó
$$|P(x)|\ge |a_n||x{|}^n-\sum _{i=0}^{n-1}|a_i||x{|}^i>b_n|x{|}^n-b_n|x{|}^{n-1}{x}_0=b_n|x{|}^{n-1}(|x|-x_0)\ge 0.$$
Vậy $P(x)\ne 0$ với mọi $|x|\ge x_0$, tức mọi nghiệm của $P(x)$ (nếu có) đều thỏa $|x|<x_0$, nghĩa là thuộc khoảng $(-x_0;x_0)$. $■$