(7 điểm) Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$.

a) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $AI,BI,CI$. Chứng minh rằng $DX,EY,FZ$ đồng quy.

b) Gọi $L$ là giao điểm của $AD$ với $EF$, lấy điểm $P$ thuộc $BC$ sao cho $\frac{PB}{PC}=\frac{LF}{LE}$, $M$ là trung điểm $BC$. Trên đường trung trực của $MP$ lấy $K$ sao cho $MK$ song song với $AI$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $K$ đi qua $M$ và $P$ tiếp xúc với đường tròn $(BIC)$.