Bác An có khu vườn hình thang vuông ABCD với AB=40m, AD=DC=80m. Bác ấy đã đào một cái hồ để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh DC và một phần của đường cong $(\mathcal{H})$, biết rằng $(\mathcal{H})$ chứa các điểm K sao cho tích khoảng cách từ K đến AD và BC luôn bằng $240\sqrt{5}$ m. Bác An muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm E trên mép hồ sen, rồi lại từ điểm E đó tới một điểm F trên cạnh AB. Tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $C(80;0)$, $A(0;80)$, $B(40;80)$. Khi đó $AD$ là đường $x=0$, $AB$ là đường $y=80$, $BC$ là đường $2x+y-160=0$ (với điểm trong hình thang có $160-2x-y>0$).

**Phương trình đường cong $(\mathcal{H})$:** Với điểm $K(x;y)$, tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ là
$$x\cdot \frac{160-2x-y}{\sqrt{5}}=240\sqrt{5}\Rightarrow x(160-2x-y)=1200\Rightarrow y=160-2x-\frac{1200}{x}.$$
Curve cắt $DC$ ($y=0$) khi $x^2-80x+600=0\Rightarrow x=40\pm 10\sqrt{10}$, tức $x_1=40-10\sqrt{10}\approx 28,38$ và $x_2=40+10\sqrt{10}\approx 71,62$ (đều nằm trong $[0;80]$). Hồ sen là miền giữa đoạn $DC$ và cung $(\mathcal{H})$.

**Tối ưu con đường:** Với $E(x;y)$ cố định trên mép hồ, vì $M$ tuỳ ý trên $AD$ và $F$ tuỳ ý trên $AB$ nên
$$ME+EF\ge d(E,AD)+d(E,AB)=x+(80-y),$$
và dấu bằng đạt được khi $ME\perp AD$, $EF\perp AB$ (các chân vuông góc đều nằm trên cạnh). Vậy cần tối thiểu $g(x)=x+80-y$ với $E$ trên mép hồ. Thay phương trình $(\mathcal{H})$:
$$g(x)=x+80-\left(160-2x-\frac{1200}{x}\right)=3x-80+\frac{1200}{x},x\in [40-10\sqrt{10};40+10\sqrt{10}].$$
$$g^{\prime }(x)=3-\frac{1200}{x^2}=0\iff x=20\notin [28,38;71,62].$$
Trên đoạn này $g^{\prime }(x)>0$ (vì $1200/x^2\le 1200/(40-10\sqrt{10}{)}^2\approx 1,49<3$) nên $g$ đồng biến, giá trị nhỏ nhất tại $x_1=40-10\sqrt{10}$ (điểm $E$ nằm trên cạnh $DC$, là một phần mép hồ):
$$\frac{1200}{40-10\sqrt{10}}=\frac{120}{4-\sqrt{10}}=20(4+\sqrt{10})=80+20\sqrt{10},$$
$$g_{\min }=(120-30\sqrt{10})-80+(80+20\sqrt{10})=120-10\sqrt{10}.$$

Kiểm tra hình học: $M=D(0;0)$, $E=(40-10\sqrt{10};0)$, $F=(40-10\sqrt{10};80)$, các đoạn thẳng không đi vào trong hồ (tiếp xúc chỉ tại $E$ trên biên).

Vậy tổng chiều dài ngắn nhất là $120-10\sqrt{10}\approx 88,38$ m.