Bác Nam có một mảnh đất, biết rằng trước đây, mảnh đất có dạng hình tam giác vuông, nhưng do ở gần sông nên đã bị sạt lở một phần đất. Mảnh đất còn lại có dạng tứ giác $ABCD$ như hình vẽ, khi đo đạc thì được số đo các cạnh của tứ giác $ABCD$ có $AB\perp CD;AB=2;BC=13;CD=8;DA=5$. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x=AH$. Hỏi diện tích phần đất bác Nam hiện có là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 6: $H$ là giao của $AB$ và $CD$, với $AB\perp CD$ tại $H$; thứ tự thẳng hàng là $H,D,C$ trên một đường và $H,A,B$ trên đường vuông góc. Đặt $x=AH$.

Tam giác $AHD$ vuông tại $H$ có $AD=5$, nên $HD=\sqrt{25-x^2}$.

Từ hình vẽ: $HC=HD+DC=\sqrt{25-x^2}+8$ và $HB=HA+AB=x+2$.

Tam giác $HBC$ vuông tại $H$ có $BC=13$, theo định lý Pythagoras:
$$(x+2{)}^2+{\left(8+\sqrt{25-x^2}\right)}^2=169.$$

Thử $x=3$: $HD=\sqrt{25-9}=4$, khi đó $HC=4+8=12$, $HB=3+2=5$. Kiểm tra: $5^2+12^2=25+144=169$ thỏa mãn.

Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng diện tích tam giác vuông $HBC$ trừ diện tích tam giác vuông $HAD$ (phần bị sạt lở):
$$S=\frac{1}{2}\cdot HB\cdot HC-\frac{1}{2}\cdot AH\cdot HD=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=30-6=24.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 1003: 24). Vậy diện tích phần đất bác Nam hiện có là $24$.