Bài 2 (7,0 điểm). Trên bàn cờ kích thước được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước hoặc của bàn cờ.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.
Bài 2 (7,0 điểm). Trên bàn cờ kích thước được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước hoặc của bàn cờ.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2.** Đánh số các ô bởi tọa độ nguyên , ; ô xuất phát là .
**a)** Mỗi bước của quân mã đổi tọa độ điệu bộ hoặc , do đó tổng thay đổi một lượng hoặc , luôn là số **lẻ**. Vậy sau mỗi bước tính chẵn lẻ của đảo dấu; sau 2025 bước (số lẻ) thì ô kết thúc có tính chẵn lẻ của **khác** với ô xuất phát.
Các ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát là 8 ô kề chéo, tức các ô . Với mỗi ô như vậy ta có
luôn chẵn, tức các ô này có cùng tính chẵn lẻ của với ô xuất phát.
Điều này mâu thuẫn với kết luận trên. Vậy quân mã không thể sau 2025 bước dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát. (Điều kiện các ô phân biệt không cần dùng đến.)
**b)** Mỗi bước đi sang phải và lên trên nên quân mã chỉ có thể nhảy theo hai kiểu vector: hoặc . Gọi là số bước kiểu , là số bước kiểu . Từ ô góc dưới trái đến ô góc trên phải phải có tổng dịch chuyển :
Trừ hai phương trình suy ra , suy ra . Tổng số bước là .
Mỗi đường đi tương ứng với một cách sắp xếp 675 bước kiểu và 675 bước kiểu trong 1350 bước, và ngược lại mọi cách sắp xếp như vậy đều cho một đường đi hợp lệ: vì theo trình tự các bước, cả hai tọa độ không giảm và tổng mỗi tọa độ đúng bằng 2025, nên mọi ô trung gian đều nằm trong bàn cờ (tọa độ mỗi tọa độ nằm trong ).
Vậy số cách nhảy là
**Bài 2.** Đánh số các ô bởi tọa độ nguyên , ; ô xuất phát là .
**a)** Mỗi bước của quân mã đổi tọa độ điệu bộ hoặc , do đó tổng thay đổi một lượng hoặc , luôn là số **lẻ**. Vậy sau mỗi bước tính chẵn lẻ của đảo dấu; sau 2025 bước (số lẻ) thì ô kết thúc có tính chẵn lẻ của **khác** với ô xuất phát.
Các ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát là 8 ô kề chéo, tức các ô . Với mỗi ô như vậy ta có
luôn chẵn, tức các ô này có cùng tính chẵn lẻ của với ô xuất phát.
Điều này mâu thuẫn với kết luận trên. Vậy quân mã không thể sau 2025 bước dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát. (Điều kiện các ô phân biệt không cần dùng đến.)
**b)** Mỗi bước đi sang phải và lên trên nên quân mã chỉ có thể nhảy theo hai kiểu vector: hoặc . Gọi là số bước kiểu , là số bước kiểu . Từ ô góc dưới trái đến ô góc trên phải phải có tổng dịch chuyển :
Trừ hai phương trình suy ra , suy ra . Tổng số bước là .
Mỗi đường đi tương ứng với một cách sắp xếp 675 bước kiểu và 675 bước kiểu trong 1350 bước, và ngược lại mọi cách sắp xếp như vậy đều cho một đường đi hợp lệ: vì theo trình tự các bước, cả hai tọa độ không giảm và tổng mỗi tọa độ đúng bằng 2025, nên mọi ô trung gian đều nằm trong bàn cờ (tọa độ mỗi tọa độ nằm trong ).
Vậy số cách nhảy là