Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$;

b) $y={\sin }^{2}5x$;

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$;

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (trang 24): Tính đạo hàm các hàm số hợp.

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$, với $x\ge -\frac{3}{2}$ và $\sqrt{2x+3}\ne 0+k\pi$. Đặt $u=\sqrt{2x+3}$, $u^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }=-\frac{\sin \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+3}}.$$

b) $y={\sin }^{2}5x$. Đặt $u=\sin 5x$, $u^{\prime }=5\cos 5x$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\sin 5x\cdot 5\cos 5x=5\sin 10x$$
(vì $2\sin 5x\cos 5x=\sin 10x$).

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$, với $\frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Đặt $u=\tan \frac{x}{3}$, $u^{\prime }=\frac{1}{3}{\sec }^2\frac{x}{3}=\frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\tan \frac{x}{3}\cdot \frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\tan \frac{x}{3}}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\sin \frac{x}{3}}{3{\cos }^3\frac{x}{3}}.$$

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$, với $x\ne 0$ và $\sin x^2\ne 0$. Đặt $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$; $(\cot u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}\right)=-\frac{x}{2{\sin }^2{x}^2}=-\frac{x}{2}{\csc }^2{x}^2.$$