Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y=\left(x^2-2x+2\right)e^x$;
b) $y={\log }_2\left(2x+e^x\right)$;
c) $y=\frac{x+1}{2^x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3 (trang 24) – Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=(x^2-2x+2)e^x$.
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=[(2x-2)+(x^2-2x+2)]e^x=(x^2-1)e^x$.

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$, với điều kiện $2x+e^x>0$ (hàm $2x+e^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên luôn xác định trên miền có nghĩa của logarit).
Áp dụng công thức $({\log }_{2}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln 2}$ với $u=2x+e^x$, $u^{\prime }=2+e^x$:
$$y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)\cdot 2^{-x}$.
Áp dụng quy tắc tích với $(2^{-x}{)}^{\prime }=-2^{-x}\ln 2$:
$y^{\prime }=1\cdot 2^{-x}+(x+1)\cdot (-2^{-x}\ln 2)=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.

Kiểm tra lại c) bằng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{2^x-(x+1)2^x\ln 2}{2^{2x}}=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$ — trùng kết quả trên.

Vậy:
- a) $y^{\prime }=(x^2-1)e^x$;
- b) $y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}$;
- c) $y^{\prime }=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.