Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin 2x\cdot \cos 3x$ tại $x=\frac{\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5 (trang 24): Tính đạo hàm của $y=\sin 2x\cdot \cos 3x$ tại $x=\frac{\pi }{3}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ với $u=\sin 2x$, $v=\cos 3x$:
$$u^{\prime }=2\cos 2x,v^{\prime }=-3\sin 3x.$$
Suy ra:
$$y^{\prime }=2\cos 2x\cos 3x-3\sin 2x\sin 3x.$$
Thay $x=\frac{\pi }{3}$:
- $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \pi =0$.

Do đó:
$$y^{\prime }{|}_{x=\pi /3}=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-1)-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0=1-0=1.$$

Vậy $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$.