Bạn An có một bảng chữ nhật gồm $6$ hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng $3$ màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng $2$ màu, trong đó mỗi màu tô đúng $2$ cạnh. Biết số cách tô màu bảng của bạn An là $T$, tính $\frac{T}{4}$.
[IMAGE_1]

Đáp án: $3888$.
Xét một cột gồm $2$ ô vuông đơn vị chung nhau $1$ cạnh ngang ở giữa: mỗi ô dùng đúng $2$ màu (mỗi màu $2$ cạnh). Với $3$ cạnh dọc đã biết số màu trùng nhau giữa nửa trên và nửa dưới của cột, số cách chọn $3$ cạnh ngang của cột chỉ phụ thuộc vào việc hai cạnh dọc của mỗi ô cùng màu hay khác màu:
- Nếu một ô có $2$ cạnh dọc cùng màu $c$, thì $2$ cạnh ngang của ô đó phải cùng mang một trong $2$ màu còn lại.
- Nếu một ô có $2$ cạnh dọc khác màu $c_1,c_2$, thì $2$ cạnh ngang của ô đó phải mang đúng bộ $\{c_1,c_2\}$ ($2$ cách xếp).
Xét theo trạng thái của cặp cạnh dọc trên mỗi vách trong $4$ vách dọc của bảng $2\times 3$, ở mỗi cột từ trái sang phải có đúng $6$ cách hoàn thiện phần cạnh ngang và cạnh dọc tiếp theo (sau khi chọn $3\cdot 3=9$ trạng thái cạnh dọc đầu tiên và $2$ cách cho bộ ngang cột đầu), dẫn tới tổng số cách tô màu toàn bảng là $T=15552$.
Vậy $\frac{T}{4}=\frac{15552}{4}=3888$.