Biết ${\int }_1^e\frac{(x+1)\ln x+2}{1+x\ln x}dx=ae+b\ln (e+1)+c$ trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tỉ số $\frac{2a+c}{b}$ bằng

Chọn A.
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân:
$$\frac{(x+1)\ln x+2}{1+x\ln x}=\frac{x\ln x+1+\ln x+1}{1+x\ln x}=1+\frac{\ln x+1}{1+x\ln x}.$$
Khi đó:
$$I={\int }_1^{e}1dx+{\int }_1^e\frac{\ln x+1}{1+x\ln x}dx=(e-1)+J.$$
Để tính $J$, đặt $t=1+x\ln x⟹dt=(\ln x+1)dx$.
Đổi cận: $x=1⟹t=1$; $x=e⟹t=1+e$.
Khi đó:
$$J={\int }_1^{1+e}\frac{dt}{t}={\ln |t||}_1^{1+e}=\ln (1+e).$$
Do đó:
$$I=e-1+\ln (e+1)=1\cdot e+1\cdot \ln (e+1)-1.$$
Suy ra $a=1,b=1,c=-1$.
Vậy tỉ số $\frac{2a+c}{b}=\frac{2(1)+(-1)}{1}=1$.