Biết đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{13x-9}{x^2+1}$ có hai điểm cực trị. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

Chọn C.
Ta có:
$$y^{\prime }=\frac{13(x^2+1)-2x(13x-9)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-13x^2+18x+13}{(x^2+1{)}^2}.$$
Giả sử hai điểm cực trị là $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$, khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của $-13x^2+18x+13=0$.
Tại điểm cực trị ta có $y=\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}=\frac{13}{2x}$.
Ta có:
$$y_1=\frac{13}{2x_1}=\frac{13x_1^2}{2x_1^3}=\frac{13}{2}{x}_1-9.$$
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình:
$$y=\frac{13}{2}x-9\iff 13x-2y-18=0.$$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $AB$ là:
$$d(O,AB)=\frac{|-18|}{\sqrt{13^2+(-2{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{173}}.$$