Biết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ tại điểm $M(2;0)$ có dạng $x-by+c=0$ với $b,c$ là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức $T=2026b+10c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. Kiểm tra $M(2;0)$: $I{M}^2=(2-1{)}^2+(0-2{)}^2=5=R^2$ nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(1;-2)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-2)-2(y-0)=0\iff x-2y-2=0$. So với $x-by+c=0$ ta được $b=2,c=-2$. Do đó $T=2026\cdot 2+10\cdot (-2)=4052-20=4032$, khớp với đáp án nguồn.