Biết rằng ${\int }_0^3\frac{1-e^{3x}}{e^{2x}+e^x+1}\mathrm{d}x=a-e^b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, hãy tính $b-a$.

Tích phân ${\int }_1^2(x+3{)}^{2}dx$ bằng

Tích phân $I={\int }_0^2\frac{x+4}{x^2+3x+2}dx=a\ln 3+b\ln 2$. Khi đó, tính tổng $a^2+b^2$.

Một hồ thủy lợi được tạo ra để điều hòa giữa lượng nước thu vào (từ các nguồn như nước sông, nước suối, nước mưa,...) và lượng nước xả ra (để tưới tiêu, nuôi trồng thủy sản,...), hồ vận hành an toàn khi thể tích nước bên trong nó nằm trong khoảng từ $20000{\text{ m}}^3$ đến $60000{\text{ m}}^3$. Sau một cơn mưa, người ta quan sát hồ trong $6$ giờ liên tục và đo được lưu lượng nước (tức là tốc độ thay đổi của lượng nước theo thời gian) trong hồ là
$Q(t)=1000t^3-8000t^2+12000t$
$t$ có đơn vị là giờ, $Q(t)$ có đơn vị là ${\text{m}}^3/\text{giờ}$.
Lưu ý: Tại cùng một thời điểm
- $Q(t)>0$ thể hiện lượng nước thu vào lớn hơn lượng nước xả ra.
- $Q(t)<0$ thể hiện lượng nước thu vào nhỏ hơn lượng nước xả ra.
Biết rằng tại thời điểm bắt đầu quan sát, trong hồ có $50000{\text{ m}}^3$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm liên tục trên $[2;5]$ thỏa mãn điều kiện $f(2)=1$ và $x.(x-1).f^{\prime }(x)-f(x)=x^2+2x-3$. Biết ${\int }_3^5{f}^{\prime }(x)\text{d}x=a+\frac{b}{c}\ln 2$ (với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ tối giản). Tính $a+b-2c$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nếu ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=8$ thì ${\int }_0^4\left[\frac{1}{4}f(x)-2x\right]\mathrm{d}x$ bằng