Biết rằng đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$ được cho như hình vẽ bên.



Số nghiệm của phương trình $[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)=0$ bằng

Xét phương trình $[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)=0\iff f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)-[f^{\prime }(x){]}^2=0$ (*).
Nếu $f(x_0)=0$ thì từ phương trình suy ra $f^{\prime }(x_0)=0$, nghĩa là $x_0$ là nghiệm kép của $f(x)=0$. Nhưng từ đồ thị ta thấy hàm số bậc bốn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên các nghiệm đều là nghiệm đơn, do đó $f(x)\ne 0$ tại mọi nghiệm của (*).
Chia cả hai vế cho $f^2(x)$ ta được:
$\frac{f(x)\cdot f^{\prime \prime }(x)-[f^{\prime }(x){]}^2}{f^2(x)}=0\iff {\left[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right]}^{\prime }=0$.
Vì $f(x)$ là đa thức bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt $x_1<x_2<x_3<x_4$ nên:
$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ ($a\ne 0$).
Khi đó:
$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}+\frac{1}{x-x_4}$.
Lấy đạo hàm ta được:
${\left[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right]}^{\prime }=-\frac{1}{(x-x_1{)}^2}-\frac{1}{(x-x_2{)}^2}-\frac{1}{(x-x_3{)}^2}-\frac{1}{(x-x_4{)}^2}<0,\forall x\notin \{x_1,x_2,x_3,x_4\}$.
Do đó phương trình ${\left[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right]}^{\prime }=0$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có $0$ nghiệm.
Chọn B.