Biết số phức $z$ thỏa mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}$ và biểu thức $T=|z+2{|}^2-|z-i{|}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $|z|$.

Chọn C
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) có điểm biểu diễn $M(x;y)$.
Ta có $|z-3-4i|=\sqrt{5}\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=5$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;4)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
$T=|(x+2)+yi{|}^2-|x+(y-1)i{|}^2=(x+2{)}^2+y^2-[x^2+(y-1{)}^2]=4x+2y+3$.
Biến đổi: $\Delta :4x+2y+3-T=0$.
Đường thẳng $\Delta$ cắt hoặc tiếp xúc $(C)\iff d(I,\Delta )\le R\iff \frac{|4(3)+2(4)+3-T|}{\sqrt{4^2+2^2}}\le \sqrt{5}\iff |23-T|\le 10\iff 13\le T\le 33$.
$T_{max}=33$ đạt được khi $\{\begin{array}{rl}4x+2y-30& =0\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =5\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}x& =5\\ y& =5\end{array}$.
Khi đó $z=5+5i\Rightarrow |z|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$.