Biết ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt[2019]{x-1}\cdot \sqrt[2019]{2x-3}\cdots \sqrt[2019]{2018x-4035}-1}{x-2}=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tổng $a+b$ bằng

Xét hàm số $f(x)={\prod }_{k=1}^{2018}[kx-(2k-1){]}^{\frac{1}{2019}}$.
Tại $x=2$, mỗi thừa số có giá trị là $2k-(2k-1)=1$, do đó $f(2)=1$.
Giới hạn đã cho chính là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại $x=2$:
$L={\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$.
Lấy logarit tự nhiên hai vế của $f(x)$ khi $x$ gần 2:
$\ln f(x)=\frac{1}{2019}{\sum }_{k=1}^{2018}\ln (kx-2k+1)$.
Đạo hàm hai vế theo $x$:
$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{2019}{\sum }_{k=1}^{2018}\frac{k}{kx-2k+1}$.
Thay $x=2$ vào:
$\frac{f^{\prime }(2)}{f(2)}=\frac{1}{2019}{\sum }_{k=1}^{2018}\frac{k}{1}=\frac{1}{2019}\cdot \frac{2018\cdot 2019}{2}=1009$.
Vì $f(2)=1$, suy ra $f^{\prime }(2)=1009=\frac{1009}{1}$.
Do đó $a=1009,b=1$ (phân số tối giản), suy ra $a+b=1009+1=1010$. Chọn B.