Câu 1. (4,0 điểm)
1. Một bệnh nhân được tiêm thuốc đặc trị định kỳ mỗi 24 giờ một liều 200 mg. Sau mỗi 24 giờ, lượng thuốc còn lại bằng 60% lượng thuốc có trong cơ thể sau lần tiêm trước đó.
a) Tính lượng thuốc trong cơ thể của bệnh nhân này ngay sau khi tiêm liều thứ 5.
b) Biết ngưỡng ngộ độc thuốc là 500 mg. Hỏi nếu điều trị hàng ngày theo phương án này thì bệnh nhân có thời điểm nào bị ngộ độc hay không?

2. Một công ty có 3 chi nhánh và tại mỗi chi nhánh có 10 bậc lương cho nhân viên. Lương của nhân viên được thể hiện trong bảng dưới đây, biết rằng trong mỗi hàng, các số tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự từ trái sang phải), và trong mỗi cột, các số tạo thành một cấp số nhân (theo thứ tự từ trên xuống dưới). Chứng minh rằng công bội của tất cả các cấp số nhân này đều bằng nhau.

Chi nhánh / Bậc lương	BẮC	TRUNG	NAM
1
2
3
...
10

Lời giải.
Gọi $u_n$ (mg) là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau lần tiêm thứ $n$ $(n\ge 1)$. Khi đó
$$u_1=200,u_n=0,6u_{n-1}+200(n\ge 2).$$
Đặt $v_n=u_n-500$. Ta có
$$v_n=u_n-500=0,6u_{n-1}+200-500=0,6u_{n-1}-300=0,6(u_{n-1}-500)=0,6v_{n-1}.$$
Vậy $(v_n)$ là một cấp số nhân với
$$v_1=u_1-500=200-500=-300,q=0,6.$$
Suy ra
$$v_n=-300(0,6{)}^{n-1}.$$
Do đó
$$u_n=v_n+500=500-300(0,6{)}^{n-1}.$$

a) Ngay sau khi tiêm liều thứ 5:
$$u_5=500-300(0,6{)}^4=500-300\cdot 0,1296=461,12.$$
Vậy lượng thuốc là $461,12$ mg.

b) Vì $(0,6{)}^{n-1}>0$ với mọi $n\ge 1$, nên
$$u_n=500-300(0,6{)}^{n-1}<500.$$
Vậy ngay sau mỗi lần tiêm, lượng thuốc luôn nhỏ hơn 500 mg.
Giữa hai lần tiêm, lượng thuốc chỉ giảm dần nên cũng không thể vượt quá 500 mg.
Do đó bệnh nhân không bao giờ bị ngộ độc.
Kết luận: $u_5=461,12$ mg và bệnh nhân không bị ngộ độc.

2. Gọi các số trong bảng là $a_{i,j}$ với $i=1,\dots ,10$ (bậc lương) và $j=1,2,3$ (Bắc, Trung, Nam).
Vì mỗi hàng là cấp số cộng nên với mọi $i$ ta có:
$$a_{i,2}-a_{i,1}=a_{i,3}-a_{i,2}.$$
Đặt công sai của hàng $i$ là $d_i$, khi đó:
$$a_{i,2}=a_{i,1}+d_i,a_{i,3}=a_{i,1}+2d_i.$$
Vì mỗi cột là cấp số nhân, đặt công bội của cột $j$ là $q_j$ $(j=1,2,3)$, ta có với mọi $i=1,\dots ,9$:
$$a_{i+1,1}=q_1{a}_{i,1},a_{i+1,2}=q_2{a}_{i,2},a_{i+1,3}=q_3{a}_{i,3}.$$
Xét hai hàng liên tiếp $i$ và $i+1$. Từ $a_{i,2}=a_{i,1}+d_i$ suy ra:
$$a_{i+1,2}-a_{i+1,1}=q_2{a}_{i,2}-q_1{a}_{i,1}=q_2(a_{i,1}+d_i)-q_1{a}_{i,1}=(q_2-q_1)a_{i,1}+q_2{d}_i.$$
Mặt khác, vì hàng $i+1$ là cấp số cộng nên:
$$a_{i+1,2}-a_{i+1,1}=d_{i+1}.$$
Do đó:
$$d_{i+1}=(q_2-q_1)a_{i,1}+q_2{d}_i.(1)$$
Tương tự, từ $a_{i,3}=a_{i,2}+d_i$ suy ra:
$$a_{i+1,3}-a_{i+1,2}=q_3{a}_{i,3}-q_2{a}_{i,2}=q_3(a_{i,2}+d_i)-q_2{a}_{i,2}=(q_3-q_2)a_{i,2}+q_3{d}_i.$$
Mà hàng $i+1$ là cấp số cộng nên cũng có:
$$a_{i+1,3}-a_{i+1,2}=d_{i+1}.$$
Suy ra:
$$d_{i+1}=(q_3-q_2)a_{i,2}+q_3{d}_i.(2)$$
Thay $a_{i,2}=a_{i,1}+d_i$ vào $(2)$, được:
$$d_{i+1}=(q_3-q_2)(a_{i,1}+d_i)+q_3{d}_i=(q_3-q_2)a_{i,1}+(2q_3-q_2)d_i.(3)$$
Vì $(1)$ và $(3)$ đều bằng $d_{i+1}$ với mọi $i$, nên so sánh hệ số theo $a_{i,1}$ và $d_i$ ta được:
$$q_2-q_1=q_3-q_2\text{vaˋ}{q}_2=2q_3-q_2.$$
Từ phương trình thứ hai:
$$2q_2=2q_3\Rightarrow q_2=q_3.$$
Thế vào phương trình thứ nhất:
$$q_2-q_1=q_3-q_2=0\Rightarrow q_1=q_2.$$
Vậy $q_1=q_2=q_3$.
Kết luận: công bội của các cấp số nhân ở mọi cột đều bằng nhau.