Câu 5. (4,0 điểm) Cho $X$ là tập hợp gồm 45 số nguyên từ $-22$ đến 22. Chọn ngẫu nhiên $a,b,c\in X$ để tạo thành hàm số $f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tính xác suất để đồ thị $(C)$ có 2 đường tiệm cận.
b) Tính xác suất để đồ thị $(C)$ có 2 đường tiệm cận cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành.

Lời giải.
Không gian mẫu là số bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ với $a,b,c\in X$:
$$n(\Omega )=45^3=91125.$$

a) Đồ thị của
$$f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}$$
có 2 tiệm cận khi mẫu $x-c$ không bị khử, tức là
$$c\ne a,c\ne b.$$
Khi đó:
- chọn $c$: có 45 cách;
- chọn $a\ne c$: có 44 cách;
- chọn $b\ne c$: có 44 cách.
Số trường hợp thuận lợi là
$$45\cdot 44\cdot 44.$$
Vậy xác suất cần tìm là
$$P=\frac{45\cdot 44\cdot 44}{45^3}=\frac{1936}{2025}.$$

b) Khi $c\ne a$, $c\ne b$, chia đa thức ta được
$$f(x)=x-a-b+c+\frac{(c-a)(c-b)}{x-c}.$$
Vì thế hai tiệm cận là
$$x=c\text{vaˋ}y=x-a-b+c.$$
Giao điểm của chúng là
$$I(c,2c-a-b).$$
Để $I$ nằm trên trục hoành thì tung độ bằng 0, tức là
$$2c-a-b=0\iff c=\frac{a+b}{2}.$$
Như vậy $a+b$ phải chẵn, tức là $a,b$ cùng tính chẵn lẻ.
Trong tập $X$ có:
$$23\text{ soˆˊ cha˘˜n},22\text{ soˆˊ lẻ}.$$
Do $c=\frac{a+b}{2}$ và $c\ne a$, $c\ne b$ nên phải có $a\ne b$.
Số cặp có thứ tự $(a,b)$ cùng tính chẵn lẻ và khác nhau là
$$23\cdot 22+22\cdot 21=968.$$
Với mỗi cặp như vậy, giá trị
$$c=\frac{a+b}{2}$$
được xác định duy nhất và vẫn thuộc $X$.
Vậy số trường hợp thuận lợi là 968, nên xác suất là
$$P=\frac{968}{91125}.$$
Kết luận:
$$P_a=\frac{1936}{2025},P_b=\frac{968}{91125}.$$