Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $x^2-2x-3=\sqrt{x+3}$.

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3xy+y+1=21x\\ 9x^2{y}^2+3xy+1=117x^2\end{array}(x,y\in \mathbb{R})$.

a) Giải phương trình $x^2-2x-3=\sqrt{x+3}$ (1).

Điều kiện: $x\ge -3$.

$(1)\iff x^2-x+\frac{1}{4}=(x+3)+\sqrt{x+3}+\frac{1}{4}$

$\iff {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\sqrt{x+3}+\frac{1}{2}\right)}^2$

$\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{x+3}=x-1\\ \sqrt{x+3}=-x\end{array}$.

$\sqrt{x+3}=x-1\Rightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}$.

$\sqrt{x+3}=-x\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$.

Thử lại, ta có tập nghiệm $S=\left\{\frac{3+\sqrt{17}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right\}$.

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3xy+y+1=21x\\ 9x^2{y}^2+3xy+1=117x^2\end{array}$ $(x,y\in \mathbb{R})$.

Dễ thấy $x=0$ không thỏa mãn hệ phương trình.

Với $x\ne 0$, ta có $\{\begin{array}{l}3y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}=21\\ 9y^2+3\frac{y}{x}+\frac{1}{x^2}=117\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}\left(3y+\frac{1}{x}\right)+\frac{y}{x}=21\\ {\left(3y+\frac{1}{x}\right)}^2-3\frac{y}{x}=117\end{array}$.

Đặt $a=3y+\frac{1}{x},b=\frac{y}{x}$ ta có $\{\begin{array}{l}a+b=21\\ a^2-3b=117\end{array}$.

$\iff \{\begin{array}{l}a=-15\\ b=36\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}a=12\\ b=9\end{array}$.

Với $a=-15,b=36$ ta có hệ vô nghiệm.

Với $a=12,b=9$ ta có $\{\begin{array}{l}3y+\frac{1}{x}=12\\ \frac{y}{x}=9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=3\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{9}\\ y=1\end{array}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)\in \left\{\left(\frac{1}{3};3\right);\left(\frac{1}{9};1\right)\right\}$.