Câu 5 (3,0 điểm).

Một sợi dây kim loại dài 120 $cm$ được cắt thành hai đoạn: đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn. Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu $c{m}^2$?

Gọi $xcm$ (với $0<x<120$) là độ dài đoạn dây thứ nhất. Khi đó, độ dài đoạn dây thứ hai là $120-x$.

Độ dài cạnh hình vuông là $\frac{x}{4}$ và diện tích hình vuông là ${\left(\frac{x}{4}\right)}^2$.

Độ dài bán kính hình tròn là $\frac{120-x}{2\pi }$ và diện tích hình tròn là $\pi .{\left(\frac{120-x}{2\pi }\right)}^2$.

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là $S={\left(\frac{x}{4}\right)}^2+\pi .{\left(\frac{120-x}{2\pi }\right)}^2$.

Biến đổi, rút gọn ta thu được $S=\frac{\pi +4}{16\pi }{x}^2-\frac{60}{\pi }x+\frac{3600}{\pi }$.

Ta thấy $S$ là một hàm số bậc hai theo biến $x$ có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng lên.

Vậy tổng $S$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3600}{\pi +4}c{m}^2$ khi và chỉ khi $x=\frac{480}{\pi +4}cm$.



Lưu ý: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.