Câu 2 (5,0 điểm). a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD với CD=3AB, hai đường chéo AC,BD vuông góc nhau tại I. Lấy điểm

Question

Câu 2 (5,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho hình thang cân $A B C D$ có hai đáy là $A B$ và $C D$ với $C D = 3 A B$ , hai đường chéo $A C, B D$ vuông góc nhau tại $I$ . Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $A D$ sao cho $D A = 3 D M$ và điểm $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $I B$ . Đường thẳng $I M$ đi qua điểm $P (10; 7)$ và đường thẳng $C N$ có phương trình là $7 x + 5 y - 37 = 0$ . Chứng minh rằng $I M$ vuông góc với $C N$ và tìm tọa độ điểm $C$ , điểm $D$ biết $A (2; 3)$ .

b) Cho tam giác $A B C$ có $A D$ là đường phân giác trong góc $A$ và $B M$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ (với $D$ thuộc cạnh $B C$ và $M$ thuộc cạnh $A C$ ). Biết rằng hai đường thẳng $A D$ và $B M$ vuông góc với nhau và $B M = \frac{3}{2} 5 - 25 . A D$ . Tính $cos A$ .

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: a) Ta có IA = IB = 1 3 IC = 1 3 ID. Ta có CN = IN - IC = 1 2 IB - IC . IM = IA + 2 3 AD = IA + 2 3 ( ID - IA ) = 1 3 IA + 2 3 ID . Khi đó CN . IM = 1 6 IB . IA + 1 3 IB . ID - 1 3 IA . IC - 2 3 IC . ID = 0 - 1 3 IB . ID + 1 3 IA . IC - 0 = 0. Vậy IM CN. Đường thẳng IM có phương trình 5x - 7y - 1 = 0. Ta có I IM I (t; 5t-1 7 ); IC = -3. IA C (4t-6; 20t-67 7 ). C CN 7.(4t-6) + 5. 20t-67 7 - 37 = 0 t = 3 I(3;2); C(6;-1). Đường thẳng BD có phương trình x - y - 1 = 0. Toạ độ điểm N(x;y) thoả hệ: cases 7x + 5y - 37 = 0 \ x - y - 1 = 0 cases N ( 7 2 ; 5 2 ). Ta có DI = 3. IB = 6. IN , do đó tìm được điểm D(0;-1). b) Kí hiệu BC = a, CA = b, AB = c. BM 2 = AB 2 + AM 2 - 2.AB.AM. BAC = c 2 + ( b 2 ) 2 - 2c. b 2 . c 2 + b 2 - a 2 2bc BM 2 = 2 (a 2 + c 2 ) - b 2 4 . Gọi H là giao điểm của AD, BM. Xét tam giác ABM có AH là đường cao cũng là đường phân giác nên tam giác ABM cân tại A. b = 2AM = 2c. Gọi N là giao điểm của BC và đường thẳng song song với AD qua M. Ta có AD = 2MN = 4HD AD = 4 3 AH. Ta có BM 2 = a 2 - c 2 2 và AH 2 = AM 2 - HM 2 = b 2 4 - 1 4 . a 2 - c 2 2 = 9c 2 - a 2 8 . Khi đó 9 4 (5 - 2 5 ) = BM 2 AD 2 = 1 2 (a 2 - c 2 ) 16 9 . 1 8 (9c 2 - a 2 ) = 9 4 . a 2 - c 2 9c 2 - a 2 a 2 c 2 = 23 - 9 5 3 - 5 . Ta có A = b 2 + c 2 - a 2 2bc = 5c 2 - a 2 4c 2 = 5 4 - 1 4 . 23 - 9 5 3 - 5 = 5 - 1 4 .

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Môn Toán THPT Sở GD&ĐT Long An 2024-2025

Các câu hỏi khác trong đề (5 câu)