Câu 1. (5,00 điểm) Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_n=\frac{x_1+2^2{x}_2+3^2{x}_3\dots +(n-1{)}^2{x}_{n-1}}{n^2\left(n^2-1\right)},\forall n\in \mathbb{N},n\ge 2.\end{array}$$
Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$ với $u_n=(n+1{)}^4{x}_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $S_n=x_1+2^2{x}_2+\cdots +n^2{x}_n$, $S_0=0$. Với $n\ge 2$: $x_n=\frac{S_{n-1}}{n^2(n^2-1)}$, nên $n^2{x}_n=\frac{S_{n-1}}{n^2-1}$.

Suy ra $S_n=S_{n-1}+n^2{x}_n=S_{n-1}\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)=S_{n-1}\cdot \frac{n^2}{n^2-1}$.

Đặt $a_n=\frac{S_n}{n^2}$, thì $a_n=\frac{S_{n-1}}{n^2-1}=\frac{(n-1{)}^2{a}_{n-1}}{(n-1)(n+1)}=a_{n-1}\cdot \frac{n-1}{n+1}$.

Với $a_1=S_1=x_1=1$, nhân liên tiếp:
$$a_n=\prod _{k=2}^n\frac{k-1}{k+1}=\frac{2}{n(n+1)}.$$

Vậy $S_n=\frac{2n}{n+1}$, $S_{n-1}=\frac{2(n-1)}{n}$, do đó với $n\ge 2$:
$$x_n=\frac{S_{n-1}}{n^2(n^2-1)}=\frac{2(n-1)}{n\cdot n^2(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n^3(n+1)}.$$

Kiểm tra: $x_2=\frac{2}{8\cdot 3}=\frac{1}{12}$, khớp định nghĩa $x_2=\frac{x_1}{4\cdot 3}=\frac{1}{12}$.

Do đó $u_n=(n+1{)}^4{x}_n=\frac{2(n+1{)}^4}{n^3(n+1)}=2{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3\underset{n\to +\infty }{\to }2$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$.