Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n^2+\frac{2}{3}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Chứng minh rằng:
a) $u_n<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$;
b) Dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy nạp: $u_1=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$. Giả sử $0<u_n<1$ thì $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n^2+\frac{2}{3}<\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ và $u_{n+1}>0$. Vậy $u_n<1$ với mọi $n$.

b) Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}{u}_n^2-u_n+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\left(u_n^2-3u_n+2\right)=\frac{1}{3}(u_n-1)(u_n-2)$.
Vì $0<u_n<1$ nên $(u_n-1)(u_n-2)>0$, suy ra $u_{n+1}>u_n$: dãy tăng và bị chặn trên bởi 1, do đó có giới hạn hữu hạn $L$ với $L\le 1$.

Đi qua giới hạn trong hệ thức truy hồi: $L=\frac{1}{3}{L}^2+\frac{2}{3}\iff L^2-3L+2=0\iff L=1$ hoặc $L=2$. Vì $u_n<1$ nên $L\le 1$, loại $L=2$. Vậy $\lim u_n=1$.