Câu 5 (3,0 điểm). Giả sử $\{x_1;x_2;...;x_{78}\}$ là một hoán vị của tập $A=\{1976;1977;...;2053\}$.
a) Tìm dư khi chia $a=x_1{x}_2...x_{78}$ cho 79.
b) Chứng minh rằng tồn tại $m,n\in \{1;2;...;78\}$, $m\ne n$ thỏa mãn: $m{x}_m-n{x}_n$ chia hết cho 79.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5. a) Tập A = {1976,...,2053} có 78 phần tử. Vì 1976 = 79·25 + 1 nên các phần tử của A lần lượt dư 1, 2, ..., 78 khi chia cho 79, tức {x_1,...,x_78} là hoán vị của các số dư 1, 2, ..., 78 modulo 79. Do đó a = x_1x_2...x_78 ≡ 1·2·...·78 = 78! (mod 79). Theo định lý Wilson, vì 79 là số nguyên tố: 78! ≡ -1 ≡ 78 (mod 79). Vậy dư khi chia a cho 79 là 78.

b) Giả sử phản chứng: với mọi m ≠ n thì mx_m ≢ nx_n (mod 79). Khi đó 78 số mx_1, mx_2, ..., mx_78 đôi một khác nhau modulo 79 và đều khác 0 (vì m, x_m đều không chia hết cho 79). Mỗi số dư khác 0 thuộc tập {1, 2, ..., 78}, nên 78 số này chính là một hoán vị của 1, 2, ..., 78 modulo 79. Suy ra tích của chúng: ∏_{k=1}^{78} (k·x_k) ≡ 1·2·...·78 = 78! ≡ -1 (mod 79).

Mặt khác, tính trực tiếp: ∏_{k=1}^{78} (k·x_k) = (1·2·...·78)·(x_1x_2...x_78) ≡ 78!·78! ≡ (-1)·(-1) = 1 (mod 79).

Hai kết quả mâu thuẫn (1 ≢ -1 mod 79). Vậy giả sử phản chứng sai, tức tồn tại m ≠ n ∈ {1,...,78} sao cho mx_m - nx_n chia hết cho 79. Đpcm.