Câu 4 (3,0 điểm). Cho đa giác đều $(H)$ có 30 đỉnh nội tiếp trong đường tròn $(O)$.
a) Có bao nhiêu đường chéo của đa giác $(H)$ không phải là đường kính của $(O)$?
b) Tính số tam giác tù có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác $(H)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số đoạn thẳng nối 2 trong 30 đỉnh: $C_{30}^2=435$, trong đó có 30 cạnh và 15 đường kính (30 đỉnh tạo thành 15 cặp đối xứng qua tâm). Số đường chéo không phải đường kính: $435-30-15=390$.

b) Tam giác tù có ba đỉnh trên đường tròn khi và chỉ khi cả ba đỉnh nằm trong một nửa đường tròn mở (cung nhỏ hơn $180°$). Với mỗi đỉnh chọn làm 'đỉnh đầu', có đúng 14 đỉnh nằm trong nửa đường tròn mở bắt đầu từ đỉnh đó (vì n=30 chẵn, mỗi bên có 14 đỉnh, không tính đỉnh đối diện). Chọn 2 trong 14 đỉnh: $C_{14}^2=91$. Mỗi tam giác tù được đếm đúng một lần theo cách này. Số tam giác tù: $30\cdot C_{14}^2=30\cdot 91=2730$.

Kiểm tra: tổng tam giác $C_{30}^3=4060$; tam giác vuông (có đường kính làm cạnh): $15\cdot 28=420$; tam giác nhọn: $4060-2730-420=910>0$, hợp lý.