Câu 2. (4,0 điểm)

Cho hàm số $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(x+3{)}^2+1& \text{khi }-4\le x\le 0\\ \frac{x+7}{x+3}& \text{khi }x<-4\\ 2^x-x& \text{khi }x>0\end{array}$$

a) Hỏi hàm số này có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

b) Giả sử có 6 số thực $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$ sao cho
$$f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=f(a_4)=f(a_5)=f(a_6).$$
Chứng minh rằng $a_6-a_5<1$.

Lời giải.

a) Xét từng khoảng:
Với $x<-4$:
$$f(x)=\frac{x+7}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}\Rightarrow f^{\prime }(x)=-\frac{4}{(x+3{)}^2}<0.$$
Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ,-4)$, không có cực trị trong khoảng này.
Với $-4\le x\le 0$:
$$f(x)=x(x+3{)}^2+1,f^{\prime }(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3).$$
Ta có bảng biến thiên:



Do đó: $x=-3$ là điểm cực đại; $x=-1$ là điểm cực tiểu.
Xét tại $x=-4$:
$$f(-4)=\frac{-4+7}{-4+3}=-3.$$
Vì khi $x\to (-4{)}^{-}$ (bên trái $-4$) hàm số nghịch biến và khi $x\in (-4;-3)$ thì hàm số đồng biến nên $x=-4$ là điểm cực tiểu. Vậy $x=-4$ là điểm cực tiểu.
Xét tại $x=0$:
$$f(0)=1.$$
Ta thấy khi $x\in (-1;0)$, thì hàm số đồng biến.
Mặt khác, với $x>0$:
$$f(x)=2^x-x,f^{\prime }(x)=2^x\ln 2-1.$$
Ta có $f^{\prime }(0^{+})=\ln 2-1<0$, nên phía bên phải của $x=0$ hay $x\to 0^{+}$ thì hàm số nghịch biến.
Do đó, $x=0$ là điểm cực đại.
Trên $(0,+\infty )$, phương trình:
$$f^{\prime }(x)=2^x\ln 2-1=0$$
có đúng một nghiệm:
$$x_0={\log }_2\frac{1}{\ln 2}.$$
Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<x_0$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>x_0$, nên $x=x_0$ là điểm cực tiểu.
Vậy hàm số có tất cả 5 điểm cực trị.

b) Đặt
$$f(a_1)=f(a_2)=\cdots =f(a_6)=m.$$
Trên khoảng $x<-4$, hàm số nghịch biến nên đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị nhiều nhất 1 điểm.
Trên đoạn $[-4,0]$, hàm tăng trên $[-4,-3]$, giảm trên $[-3,-1]$, rồi tăng trên $[-1,0]$, nên $y=m$ cắt phần này nhiều nhất 3 điểm.
Vậy ở phần $x\le 0$, tổng cộng nhiều nhất có 4 nghiệm. Do có 6 nghiệm phân biệt nên bắt buộc còn 2 nghiệm dương. Vì thế
$$a_5>0,a_6>0,$$
và
$$2^{a_5}-a_5=2^{a_6}-a_6.$$
Ta sẽ chứng minh $a_6-a_5<1$.
Giả sử ngược lại:
$$a_6-a_5\ge 1.$$
Khi đó đặt:
$$d=a_6-a_5\ge 1.$$
Ta có:
$$2^{a_6}-a_6-(2^{a_5}-a_5)=2^{a_5}(2^d-1)-d.$$
Xét hàm:
$$\phi (d)=2^{a_5}(2^d-1)-d(d\ge 1).$$
Khi đó:
$${\phi }^{\prime }(d)=2^{a_5}{2}^d\ln 2-1.$$
Vì $a_5>0$ và $d\ge 1$ nên:
$${\phi }^{\prime }(d)\ge 2\ln 2-1>0.$$
Suy ra: $\phi (d)$ tăng trên $[1,+\infty )$, nên:
$$\phi (d)\ge \phi (1)=2^{a_5}-1>0.$$
Do đó:
$$2^{a_6}-a_6>2^{a_5}-a_5,$$
mâu thuẫn với:
$$2^{a_6}-a_6=2^{a_5}-a_5.$$
Vậy giả sử trên là sai, suy ra $a_6-a_5<1$.