Câu 2: (5,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hàm số sau:
$$y=x^3-6m{x}^2+32m^3,m\text{ laˋ tham soˆˊ thực.}$$
Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông cân.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12mx=3x(x-4m)$. Hàm số có hai điểm cực trị khi $m\ne 0$, tại $x=0$ và $x=4m$. Tọa độ: $A(0;32m^3)$ (vì $y(0)=32m^3$) và $B(4m;0)$ (vì $y(4m)=64m^3-96m^3+32m^3=0$).

Vì $A$ nằm trên trục $Oy$ và $B$ nằm trên trục $Ox$ nên $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ với mọi $m\ne 0$: tam giác $OAB$ luôn vuông tại $O$.

Tam giác vuông cân $\iff OA=OB$:
$$|32m^3|=|4m|\iff 8m^2=1\iff m=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Thử lại: với $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ thì $OA=OB=\sqrt{2}\ne 0$, thỏa mãn. Vậy $m=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$.