Câu 3 (1 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh: $BC\perp (SAB)$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

a) Chứng minh: $BC\perp (SAB)$



$$\{\begin{array}{l}BC\perp SA(SA\perp (ABCD))\\ BC\perp AB(hvABCD)\\ Trong(SAB),SA\cap AB=A\end{array}$$

$$\Rightarrow BC\perp (SAB)$$ (0.5 điểm)

b) Tính $d\left[B,(SCD)\right]$

Ta có $$\{\begin{array}{l}CD\perp SA(SA\perp (ABCD))\\ CD\perp AD(hvABCD)\\ Trong(SAD),SA\cap AD=A\end{array}\Rightarrow CD\perp (SAD)$$

Kẻ $AH\perp SD$ tại H, mà $AH\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$ chứa AH)

$\Rightarrow AH\perp (SCD)$ tại H

$\Rightarrow d\left[A,(SCD)\right]=AH$

Xét $\Delta SAD$ vuông tại A, AH là đường cao

$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}.a}{\sqrt{2a^2+a^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$$

$d\left[B,(SCD)\right]=d\left[A,(SCD)\right]=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ vì $AB//(SCD)$

(Thang điểm: 0.25 điểm cho phần suy ra $AH\perp (SCD)$ và $d[A,(SCD)]=AH$; 0.25 điểm cho phần tính AH và kết luận khoảng cách từ B)