Câu 3: (5,0 điểm).

a). Cho tam giác $ABC$ có $AB=c;AC=b;BC=a$. Gọi $h_a$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$, $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. Giải sử tam giác $ABC$ thỏa mãn $h_a=\sqrt{p(p-a)}$. Chứng minh $ABC$ là tam giác cân.

b). Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $I,J,K$ sao cho $\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{CJ}$, $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}$. Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

a). (2,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=c;AC=b;BC=a$. Gọi $h_a$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$, $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. Giải sử tam giác $ABC$ thỏa mãn $h_a=\sqrt{p(p-a)}$. Chứng minh $ABC$ là tam giác cân.

- (0,5 điểm). Ta có $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow S=\frac{1}{2}a\sqrt{p(p-a)}\Rightarrow S^2=\frac{1}{4}{a}^{2}p(p-a)$ (1)

- (0,5 điểm). Theo công thức Heron ta có
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)(2).$$ Từ (1) và (2) ta có
$$\frac{1}{4}{a}^{2}p(p-a)=p(p-a)(p-b)(p-c)\iff a^2=4(p-b)(p-c)$$

- (0,5 điểm). $\iff a^2=4\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\iff a^2=(a+c-b)(a+b-c)$

- (0,5 điểm). $\iff (b-c{)}^2=0\iff b=c$. Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$.

b) (3,0 điểm). Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $I,J,K$ sao cho $\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, $\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{CJ}$, $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}$. Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

- (0,5 điểm). Ta có $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{KB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$;

$\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{IB}-3(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC})=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$

- (0,5 điểm).

$\overrightarrow{JA}=3\overrightarrow{CJ}\Rightarrow \overrightarrow{JA}=3\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AJ}\right)\Rightarrow \overrightarrow{AJ}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

- (0,5 điểm). Với $\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ (1)



- (0,5 điểm). Với $\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ mà $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ suy ra

- (0,5 điểm). $\overrightarrow{KI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\Rightarrow \overrightarrow{KI}=-\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ (2)

- (0,5 điểm). Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{KI}=2\overrightarrow{KJ}$. Vậy ba điểm $K,J,I$ thẳng hàng.