Câu 5: (3,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2^{2^{4n+1}}+7$ chia hết cho 11.

Câu 5. (3,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2^{2^{4n+1}}+7$ chia hết cho 11.

- (0,5 điểm). Ta có $2^4\equiv 6(\mathrm{mod}10)$ suy ra $2^{4n+1}\equiv 2(\mathrm{mod}10)$.

- (0,5 điểm). Suy ra $2^{4n+1}=10q+2$, $(q\in \mathbb{N})\Rightarrow 2^{2^{4n+1}}=2^{10q+2}$

- (0,5 điểm). Theo định lí Fetmat nhỏ ta có $2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$ suy ra $2^{10q}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$.

- (0,5 điểm). Do đó $2^{10q+2}\equiv 4(\mathrm{mod}11)$ hay $2^{2^{4n+1}}\equiv 4(\mathrm{mod}11)$.

- (0,5 điểm). Mặt khác $7\equiv 7(\mathrm{mod}11)$.

- (0,5 điểm). Suy ra $2^{2^{4n+1}}+7\equiv 0(\mathrm{mod}11)$. Vậy $2^{2^{4n+1}}+7$ chia hết cho 11.