Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. Đường thẳng $AH$ cắt lại $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Gọi $E$ và $F$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$.
a) Đường thẳng $DK$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Y$ khác $D$. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng $BY$ và đường trung trực của đoạn thẳng $BK$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $OFY$.
b) Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $HE$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $L$. Đường thẳng $DL$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Z$ khác $D$. Gọi $M,N$ và $P$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(BZ,OE),(CY,OF)$ và $(BY,CZ)$. Gọi $T$ là giao điểm của cặp đường thẳng $(YZ,MN)$ và $d$ là đường thẳng đi qua $T$ và vuông góc với $OA$. Chứng minh rằng $d$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AP$.