Câu 4 (5,0 điểm): Cho các số nguyên dương $m$ và $n$. Hãy tìm số cách điền một bảng $m\times n$ gồm $m$ hàng, $n$ cột bằng các số trong tập $\{-2;-1;1;2\}$ (mỗi ô chỉ điền một số) sao cho tích các số trong mỗi hàng và tích các số trong mỗi cột đều bằng $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_{ij}\in \{-2,-1,1,2\}$. Vì $|-2|=|2|=2$ và $|-1|=|1|=1$, tích giá trị tuyệt đối của một hàng bằng $|-2|=2$ nên trong mỗi hàng có đúng một ô có giá trị tuyệt đối bằng $2$ (gọi là ô '2'), các ô còn lại bằng $\pm 1$. Tương tự mỗi cột cũng có đúng một ô '2'. Suy ra tổng số ô '2' vừa bằng $m$ (theo hàng) vừa bằng $n$ (theo cột), nên nếu $m\ne n$ thì không có cách điền nào. Với $m=n$: các ô '2' tạo thành một hoán vị — mỗi hàng đúng một ô, mỗi cột đúng một ô — có $n!$ cách chọn vị trí. Xét dấu: mỗi ô có dấu $\pm 1$; điều kiện tích mỗi hàng bằng $-2<0$ và tích mỗi cột bằng $-2<0$ nghĩa là tích dấu trong mỗi hàng và mỗi cột đều bằng $-1$. Ma trận dấu $n\times n$ với tích mỗi hàng, mỗi cột bằng $-1$ có $2^{(n-1{)}^2}$ cách (tự do chọn $(n-1{)}^2$ dấu ở góc trên trái, các dấu còn lại xác định duy nhất; điều kiện tương thích thỏa vì $(-1{)}^n=(-1{)}^n$). Khi đó giá trị ô '2' là $\pm 2$ theo dấu đã chọn, giá trị các ô còn lại là $\pm 1$ theo dấu đã chọn, nên mỗi ma trận dấu cho đúng một cách điền. Kiểm tra: $n=1$ cho $1!\cdot 2^0=1$ (ô duy nhất là $-2$, đúng); $n=2$ cho $2!\cdot 2^1=4$, ví dụ $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ thỏa mãn. Kết luận: số cách điền bằng $0$ nếu $m\ne n$; bằng $n!\cdot 2^{(n-1{)}^2}$ nếu $m=n$.