Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+3{)}^2(x^2-x)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$.

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+3{)}^2$ đổi dấu qua $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua $x=-3$).
a) Sai: Hàm số $f(x)$ chỉ có $2$ điểm cực trị là $x=0$ và $x=1$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=0$ nên có $1$ điểm cực đại.
c) Sai: Với $g(x)=f(x^2-6x+10)$, $x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1\ge 1$ nên $g^{\prime }(x)=2(x-3)f^{\prime }((x-3{)}^2+1)$ chỉ đổi dấu tại $x=3$, có $1$ điểm cực trị.
d) Đúng: Để $y=f(x^2-6x+m)$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $x^2-6x+m=0$ và $x^2-6x+m=1$ đều có $2$ nghiệm phân biệt $\iff m-9<0\iff m<9$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1,2,\dots ,8\}$ (có $8$ giá trị).