Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên bằng $4\sqrt{2}$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, có $AC=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}^{\prime }$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime }M$ và $AB$ (không làm tròn ở các bước trung gian).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $2$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tại $C(0;0;0)$:
- Tia $CA$ thuộc trục $Ox$, vì $AC=4$ nên $A(4;0;0)$.
- Tia $CB$ thuộc trục $Oy$, vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $CB=4\Rightarrow B(0;4;0)$.
- Tia $C{C}^{\prime }$ thuộc trục $Oz$, chiều cao lăng trụ đứng là $C{C}^{\prime }=4\sqrt{2}\Rightarrow C^{\prime }(0;0;4\sqrt{2})$.
- Đỉnh $A^{\prime }(4;0;4\sqrt{2})$. $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ nên $M(4;0;2\sqrt{2})$.

Xét hai đường thẳng chéo nhau $C^{\prime }M$ và $AB$:
- Đường thẳng $C^{\prime }M$ đi qua $C^{\prime }(0;0;4\sqrt{2})$ có VTCP ${\vec{u}}_1=\overrightarrow{C^{\prime }M}=(4;0;-2\sqrt{2})$.
- Đường thẳng $AB$ đi qua $A(4;0;0)$ có VTCP ${\vec{u}}_2=\overrightarrow{BA}=(4;-4;0)=4(1;-1;0)$. Chọn ${\vec{v}}_2=(1;-1;0)$.
- Tích có hướng: $[{\vec{u}}_1,{\vec{v}}_2]=(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2};-4)=-2\sqrt{2}(1;1;\sqrt{2})$. Chọn vectơ pháp tuyến chung $\vec{n}=(1;1;\sqrt{2})$.
- Vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-4;0;4\sqrt{2})$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $C^{\prime }M$ và $AB$ là:
$d(C^{\prime }M,AB)=\frac{|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(-4)(1)+0(1)+4\sqrt{2}(\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{|-4+8|}{\sqrt{1+1+2}}=\frac{4}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2$.