Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $C^{\prime }$ di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $A{C}^{\prime }$ và song song với đường thẳng $DB$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt tại $B^{\prime }$, $D^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1$
b) Xác định vị trí của điểm $C^{\prime }$ trên cạnh $SC$ sao cho: $\frac{2B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}+\frac{3S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}+\frac{10S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5

a) Chứng minh $\frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1$

Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm cả hai đường chéo, do đó với hệ gốc tại $S$, gọi $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$ thì $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$ (tính chất trung điểm đường chéo).

Vì $(P)\parallel DB$ và $(P)$ cắt $(SBD)$ theo giao tuyến $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel DB$. Trong tam giác $SBD$ có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$, suy ra $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$. Đặt $x=\frac{S{B}^{\prime }}{SB}=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$, và đặt $t=\frac{S{C}^{\prime }}{SC}$ (với $0<x,t<1$).

Khi đó $\overrightarrow{S{B}^{\prime }}=x\vec{b},\overrightarrow{S{D}^{\prime }}=x\vec{d},\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=t\vec{c}$, và $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$.

Vì $A,C^{\prime },B^{\prime },D^{\prime }$ đồng phẳng (cùng thuộc $(P)$), tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho
$$\overrightarrow{SA}=\alpha \overrightarrow{S{B}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{S{D}^{\prime }}+\gamma \overrightarrow{S{C}^{\prime }}.$$
So sánh hệ số theo $\vec{b},\vec{d},\vec{c}$:
$$\alpha x=1,\beta x=1,\gamma t=-1\Rightarrow \alpha =\beta =\frac{1}{x},\gamma =-\frac{1}{t}.$$
Từ $\alpha +\beta +\gamma =1$:
$$\frac{2}{x}-\frac{1}{t}=1\iff \frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1.$$

b) Tìm vị trí $C^{\prime }$ để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có:
- $\frac{B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}=\frac{SB-S{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}=\frac{1}{x}-1$;
- $\frac{S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}=\frac{x}{1-x}$;
- từ ràng buộc $\frac{1}{t}=\frac{2-x}{x}$ suy ra $t=\frac{x}{2-x}$, do đó $\frac{S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}=\frac{t}{1-t}=\frac{x}{2(1-x)}$.

Biểu thức cần xét:
$$f(x)=2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\frac{3x}{1-x}+10\cdot \frac{x}{2(1-x)}=\frac{2}{x}+\frac{8x}{1-x}-2,0<x<1.$$

Tính đạo hàm:
$$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{8}{(1-x{)}^2}=0\iff 8x^2=2(1-x{)}^2\iff 2x=1-x\iff x=\frac{1}{3}.$$

Với $0<x<\frac{1}{3}$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $\frac{1}{3}<x<1$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đạt nhỏ nhất tại $x=\frac{1}{3}$:
$$f\left(\frac{1}{3}\right)=6+4-2=8.$$

Khi $x=\frac{1}{3}$ thì $t=\frac{x}{2-x}=\frac{1/3}{5/3}=\frac{1}{5}$.

Kết luận: $\frac{2B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}+\frac{3S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}+\frac{10S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8$ khi $\frac{S{C}^{\prime }}{SC}=\frac{1}{5}$, tức $C^{\prime }$ là điểm trên cạnh $SC$ sao cho $S{C}^{\prime }=\frac{1}{4}C{C}^{\prime }$ (điểm chia cạnh $SC$ theo tỉ số $\frac{S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}$).