Câu 5. Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng $20$, bạn Bình muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình vẽ). Để thể tích khối chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Bình cắt đi là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $624$.

Gọi $x$ là cạnh đáy của hình chóp lục giác đều ($0<x<20$).
Độ dài cạnh bên của hình chóp là bán kính lục giác đều ban đầu $R=20$.
Chiều cao của khối chóp là $h=\sqrt{20^2-x^2}=\sqrt{400-x^2}$.
Diện tích đáy chóp là: $S_{đ\acute{a}y}=6\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V(x)=\frac{1}{3}{S}_{đ\acute{a}y}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2\sqrt{400-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^4(400-x^2)}$.
Áp dụng BĐT AM-GM cho $x^2,x^2$ và $2(400-x^2)$:
$V(x)$ đạt cực đại khi $\frac{x^2}{2}=400-x^2⟺\frac{3}{2}{x}^2=400⟺x^2=\frac{800}{3}⟹x=\frac{20\sqrt{6}}{3}$.
Phần diện tích bị cắt bỏ bằng diện tích tấm bìa ban đầu trừ đi diện tích toàn phần của hình chóp:
- Diện tích lục giác đều cạnh 20: $S_{t\acute{\hat{a}}mb\grave{ı}a}=6\cdot \frac{20^2\sqrt{3}}{4}=600\sqrt{3}\approx 1039,23$.
- Diện tích mặt ngoài của chóp gấp lại bằng $S_{xq}=6\cdot \frac{1}{2}x\sqrt{20^2-(x/2{)}^2}$.
Tính toán phần diện tích cắt bỏ: $S_{c\acute{\stackrel{˘}{a}}t}\approx 623,53\approx 624$.