Câu 6. Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx=\frac{{\pi }^2}{a}-\frac{\pi }{b}+c$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $S=a+b+c$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 6 (Phần 3, câu 22) có đáp số là $11$.

Ta có $\frac{x(1+\cos x)-(1-{\cos }^{2}x)}{1+\cos x}=x-1+\cos x$, nên tích phân bằng ${\left[\frac{x^2}{2}-x+\sin x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{\pi }{2}+1$. Suy ra $a=8,b=2,c=1⟹S=11$.