Câu 6: Chọn ngẫu nhiên 3 trong số 24 đỉnh của một đa giác đều 24 cạnh. Gọi $P$ là xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông. Biết $P=\frac{a}{b}$ ($a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $2a+b$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{24}^3=2024$.
Gọi $A$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác cân”. Số tam giác cân là $24\cdot 11-8\cdot 2=248$.
Gọi $B$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác vuông”. Đa giác đều 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm. Mỗi đường chéo kết hợp với 1 trong 22 đỉnh còn lại tạo thành 1 tam giác vuông, do đó có $12\cdot 22=264$ tam giác vuông.
Số tam giác vừa vuông vừa cân: mỗi đường chéo có 2 tam giác vuông cân, do đó $n(AB)=12\cdot 2=24$.
Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là: $n(A\cup B)=248+264-24=488$.
Xác suất: $P(A\cup B)=\frac{488}{2024}=\frac{61}{253}$.
Do đó $a=61,b=253⟹2a+b=2(61)+253=375$.