Câu 7. (7,0 điểm) Cho số nguyên dương lẻ $n\ge 2$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Xét một bảng vuông $n\times n$, tại mỗi ô vuông đơn vị ta điền một số nguyên thuộc tập $\{1,2,\dots ,p-1\}$. Một bảng được gọi là “TPDN” nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) Tích của 4 số trong bất kỳ ô vuông $2\times 2$ nào trên bảng đều đồng dư với 1 mô-đun $p$.
ii) Tích của tất cả $n^2$ số trên bảng đồng dư với $-1$ mô-đun $p$.
a) Hãy hoàn thành bảng “TPDN” với $n=3$ và $p=5$ sau đây:

b) Tính số lượng bảng “TPDN” theo $n$ và $p$ (hai bảng được gọi là khác nhau nếu tồn tại ô vuông đơn vị ở hàng $i$ và cột $j$ trong hai bảng chứa hai số khác nhau).

Kí hiệu số nằm ở hàng $i$, cột $j$ là $a_{ij}$.

a) Với $n=3$ và $p=5$, xét bảng



Từ ô vuông $2\times 2$ phía trên bên trái, ta có $a=2$.

Tiếp theo, từ ô vuông $2\times 2$ phía trên bên phải, ta có $b=1$.

Hai ô vuông $2\times 2$ phía dưới cho ta $3\cdot 2\cdot c\cdot d\equiv 2\cdot 1\cdot d\cdot e\equiv 1(\mathrm{mod}5)$.

Vì thế $cd\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ và $de\equiv 3(\mathrm{mod}5)$

Mặt khác, tích của sáu số ở hai hàng đầu là $4(\mathrm{mod}5)$.

Do tích của tất cả 9 số phải đồng dư với $-1\equiv 4(\mathrm{mod}5)$, ta được
$$4cde\equiv 4(\mathrm{mod}5),$$
hay $cde\equiv 1(\mathrm{mod}5)$. Kết hợp với $cd\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ suy ra $e=1$, $d=3$, $c=2$.



b) Trước hết, ta nhận xét rằng nếu biết các số trên hàng đầu tiên và cột đầu tiên thì toàn bộ bảng được xác định duy nhất. Thật vậy, giả sử đã biết ba số $a_{i-1,j-1}$, $a_{i-1,j}$ và $a_{i,j-1}$.

Điều kiện đối với ô vuông $2\times 2$ tương ứng với
$$a_{i-1,j-1}{a}_{i-1,j}{a}_{i,j-1}{a}_{ij}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$
Vì ba số đã biết đều khác 0 modulo $p$, số $a_{ij}$ được xác định duy nhất modulo $p$, cụ thể
$$a_{ij}\equiv {\left(a_{i-1,j-1}{a}_{i-1,j}{a}_{i,j-1}\right)}^{-1}(\mathrm{mod}p).$$

Bắt đầu từ hàng đầu tiên và cột đầu tiên, ta lần lượt xác định hàng thứ hai từ trái sang phải, sau đó hàng thứ ba, và cứ tiếp tục như vậy. Do đó $2n-1$ số trên hàng đầu tiên và cột đầu tiên xác định duy nhất cả bảng.

Bây giờ ta xét tích của tất cả các số trên bảng. Đặt
$$B_j=\prod _{i=2}^n{a}_{ij}$$

Với hai cột liên tiếp $j$ và $j+1$, nhân các điều kiện của những ô vuông $2\times 2$ có hai hàng lần lượt là
$$(2,3),(4,5),\dots ,(n-1,n),$$
ta được ${\prod }_{i=2}^n{a}_{ij}{a}_{i,j+1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ hay $B_j{B}_{j+1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, do đó
$$B_2\equiv B_1^{-1},B_3\equiv B_1,B_4\equiv B_1^{-1},\dots$$

Vì $n$ lẻ nên $B_1{B}_2\cdots B_n\equiv B_1(\mathrm{mod}p)$ nên tích $n^2$ số trên bảng là
$$\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n{a}_{ij}=\left(\prod _{j=1}^n{a}_{1j}\right)\left(\prod _{j=1}^n{B}_j\right)=\left(\prod _{j=1}^n{a}_{1j}\right)B_1=\left(\prod _{j=1}^n{a}_{1j}\right)\left(\prod _{i=2}^n{a}_{i1}\right)(\mathrm{mod}p).$$

Như vậy, điều kiện tích của tất cả các số trên bảng đồng dư với $-1$ chính là điều kiện tích của $2n-1$ số nằm trên hàng đầu tiên và cột đầu tiên đồng dư với $-1$ modulo $p$.

Ta chọn tùy ý $2n-2$ trong $2n-1$ số này. Mỗi số có $p-1$ cách chọn, nên có $(p-1{)}^{2n-2}$ cách chọn. Sau khi đã chọn $2n-2$ số, số còn lại được xác định duy nhất bởi yêu cầu tích của cả $2n-1$ số phải đồng dư với $-1$ modulo $p$. Vì tích của $2n-2$ số đã chọn khác 0 modulo $p$, số còn lại cũng khác 0 và do đó thuộc duy nhất một giá trị trong $\{1,2,\dots ,p-1\}$.

Với mỗi cách chọn như trên, toàn bộ các ô còn lại của bảng lại được xác định duy nhất bởi điều kiện trên các ô vuông $2\times 2$.

Vậy số lượng bảng TPDN bằng $\boxed{(p-1{)}^{2n-2}}$