Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(m+f(n))=f(m)+9n,$$ với mọi số nguyên $m$, $n$.

Giả sử rằng tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dễ dàng chứng minh được $f$ là đơn ánh.
Thay $n=0$ vào (1) ta được:
$$f(m+f(0))=f(m)⟹m+f(0)=m⟹f(0)=0.$$
Thay $m=0$ vào (1) và kết hợp với $f(0)=0$, ta có:
$$f(0+f(n))=f(0)+9n⟹f(f(n))=9n,\forall n\in \mathbb{Z}.$$
Tiếp theo, thay $m\mapsto f(m)$ vào (1) ta có:
$$f(f(m)+f(n))=f(f(m))+9n=9(m+n)=f(f(m+n))⟹f(m+n)=f(m)+f(n),\forall m,n\in \mathbb{Z}.$$
Từ đây bằng quy nạp dễ dàng chứng minh $f(n)=nf(1),\forall n\in \mathbb{Z}$.
Đặt $c=f(1)\in \mathbb{Z}$, khi đó ta có $f(n)=cn,\forall n\in \mathbb{Z}$ và thay vào (1) ta được:
$$c(m+cn)=cm+9n⟺c^{2}n=9n,\forall n\in \mathbb{Z}.$$
Suy ra $c=\pm 3$. Vậy $f(n)=3n,\forall n\in \mathbb{Z}$ hoặc $f(n)=3n,\forall n\in \mathbb{Z}$. (Ghi chú: bản gốc in lặp 'f(n) = 3n' hai lần; khả năng đúng là $f(n)=3n$ hoặc $f(n)=-3n$ do $c=\pm 3$.)