Cho $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Tính $\cos 2\alpha$.

Một người đứng tại điểm $A$ cách gốc cây một khoảng bằng 5m và đo được góc nâng đến đỉnh đỉnh cây là $\alpha$. Khi người đó lùi xa thêm 10m nữa đến điểm $A^{\prime }$, góc nâng lúc này chỉ còn bằng một nửa góc nâng ban đầu $\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Biết giác kế được đặt trên giá đỡ cao 1,2m so với mặt đất. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

Với $x$ là các giá trị để các biểu thức sau có nghĩa, ta có

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có dạng hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình dưới đây, một vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung $AB$, $BC$, $CD$, $EF$, $FG$, $GH$ bằng nhau và một phiến đá $DE$ chốt ở đỉnh. Biết rằng chiều rộng cổng là $AH=10m$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến đường kính $AH$ là $BK=2,4m$. Khoảng cách $CM$ từ điểm $C$ đến đường kính $AH$ bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Cho $\cos 2a=\frac{1}{2}$. Biểu thức $K=\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị bằng?

Cho $\sin a=\frac{1}{4}$ và $\frac{\pi }{2}<a<\pi$. Giá trị của $\tan 2a$ bằng

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos 2x+5\sin x+2$ với $x\in \left[\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{6}\right]$.