Cho $\cos 2a=\frac{1}{2}$. Biểu thức $K=\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị bằng?

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách $d(m)$ theo phương nằm ngang tính bởi công thức $d=\frac{v_0^2.\sin 2\theta }{g}$, trong đó $v_0(m/s)$ là vận tốc ban đầu của quả bóng, $g\left(m/s^2\right)$ là gia tốc trọng trường và $\theta$ là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Tính gần đúng khoảng cách $d$ biết $v_0=13(m/s)$, $g=9,8\left(m/s^2\right)$ và $\sin \theta =\frac{20}{29}(0^{\circ }\le \theta \le 45^{\circ })$. (Làm tròn đến hàng phần chục)

Cho $a$, $b$ là các số thực thỏa mãn $\cos (a+b)=\frac{1}{4}$, $\cos (a-b)=\frac{1}{3}$. Tính giá trị của $\sin a\cdot \sin b$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Giá trị $\cos 2\alpha$ bằng

1. Một buổi chiều nào, bên bếp lửa hồng trong gian nhà ấm áp, người ta nhìn thấy ba mẹ con cùng ngồi ăn đậu phộng rang. Tấm ăn trước, cô bóc 1 hạt đậu và bỏ vào miệng; Cám là người bóc đậu tiếp theo, cô bỏ hai hạt đậu vào miệng; dì ghẻ là người bóc đậu tiếp theo liền bỏ 3 hạt vào miệng. Trở lại lượt của Tấm, cô lấy 4 hạt đậu, rồi Cám lấy 5 hạt đậu, dì ghẻ lấy 6 hạt đậu... Bữa ăn hào hứng như thế cho đến lượt cuối cùng thì số hạt đậu không đủ theo quy luật trò chơi, người nào đến lượt cuối sẽ lấy hết số hạt đậu còn lại. Sau bữa ăn ấm áp ấy, Tấm nhận ra mình đã cho vào bụng khoảng 317 hạt đậu. Hỏi tổng số đậu mà ba mẹ con đã ăn trong tối đó là bao nhiêu?

2. Tính số đo ba góc tam giác $ABC$ biết $9+4\left(\sqrt{2}\cos B-\sqrt{3}\cos C\right)=4\cos A\cos (B-C)$.

Rút gọn biểu thức $T={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x$ ta được

(1,0 điểm)
a) Tìm tập xác định của hàm số sau $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

b) Tìm tập giá trị của hàm số sau $y=4{\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)-5$