Câu hỏi Trả lời ngắn môn Toán học có lời giải chi tiết

Câu 4. Một công viên hình tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=40\text{ m}$, $AC=20\text{ m}$ và cạnh $BC$ tiếp giáp với đường nội đô. Trong công viên, người ta xây dựng một vườn hoa được giới hạn bởi đường parabol và hai cạnh $AB,AC$ của công viên, biết parabol có đỉnh là trung điểm của $AB$ và đi qua trung điểm của $AC$ (như hình vẽ).



Người ta muốn mở một con đường nhỏ rẽ từ đường nội đô đến vườn hoa, phục vụ cho việc chăm sóc hoa. Để tiết kiệm chi phí, người ta muốn mở con đường nói trên có chiều dài ngắn nhất. Hãy tính chiều dài con đường ngắn nhất đó (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 6. Một hình chữ nhật kích thước $8\text{ cm}\times 10\text{ cm}$ được chia thành các hình vuông đơn vị cạnh $1\text{ cm}$ bởi các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật (hình vẽ). Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật từ lưới hình vuông. Gọi $a,b$ là các kích thước của hình chữ nhật được chọn. Biết xác suất để $ab<a+b$ là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản), tính giá trị của biểu thức $m+n$.

Câu 1. Một hãng taxi công nghệ áp dụng bảng giá cước mới cho một chuyến đi dài như sau: Giá của km đầu tiên là $12000$ đồng. Kể từ km thứ hai trở đi, giá của mỗi km sau giảm $400$ đồng so với giá của km ngay trước đó. Biết rằng cấu trúc giảm giá này chỉ áp dụng tối đa cho $20$ km đầu tiên. Hỏi một hành khách đi chuyến xe đó với quãng đường $15$ km thì phải trả tổng cộng bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 5. Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng ba sợi dây không giãn, mỗi sợi dài $66\text{ (cm)}$. Miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính $22\text{ (cm)}$. Ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại ba điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của ba sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá $16\text{ N}$, trọng lượng của miếng giá gỗ là $5,31\text{ N}$. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị $\text{N}$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$. Biết $SA=2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ bằng $\frac{ma}{n}$. Tính $5m-n$ (Biết $m,n$ là các số tự nhiên; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản).

Câu 2. Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở $180$ người và $8$ tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe $A$ và $B$, trong đó xe $A$ có $10$ chiếc và xe $B$ có $9$ chiếc. Một xe loại $A$ cho thuê với giá $5$ triệu đồng và một xe loại $B$ cho thuê với giá $4$ triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại $A$ có thể chở tối đa $30$ người và $0,8$ tấn hàng, mỗi xe loại $B$ có thể chở tối đa $20$ người và $1,6$ tấn hàng. Chi phí thuê xe thấp nhất của chuyến đi là bao nhiêu (triệu đồng)?

Một chiếc tàu chở hàng cần đi ngược dòng trên một quãng sông dài $90\text{ km}$. Vận tốc dòng nước là $3\text{ km/h}$. Gọi $v\text{ (km/h)}$ là vận tốc của tàu so với nước yên lặng ($v>3$). Chi phí vận hành của tàu gồm hai phần:
- Chi phí nhiên liệu: $0,5v^3$ (nghìn đồng/giờ).
- Chi phí cố định (nhân công, thuê tàu): $54$ (nghìn đồng/giờ).
Gọi $C(v)$ (nghìn đồng) là tổng chi phí của cả chuyến đi. Hãy tính tổng chi phí nhỏ nhất của chuyến đi?

Giả sử số lượng cá thể của một quần thể tảo trong bể nuôi được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,6t}}$ (nghìn cá thể), trong đó thời gian $t$ được tính bằng ngày. Hàm số $P^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng của quần thể tại thời điểm $t$. Biết rằng $P(0)=40$ và $P^{\prime }(0)=12$. Theo mô hình này, khi thời gian nuôi càng kéo dài ($t$ rất lớn) thì số lượng cá thể tảo trong bể sẽ không vượt quá bao nhiêu (đơn vị: nghìn cá thể)?

Doanh thu của một cửa hàng trong $30$ ngày đầu mở bán được tính theo công thức: $T(t)=\frac{1}{30}{t}^3-\frac{3}{2}{t}^2+20t+100$ (triệu đồng) với $1\le t\le 30$. Biết $(a;b)$ là khoảng lớn nhất mà trên đó doanh thu của cửa hàng giảm xuống. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{b}{2a}$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc đoạn $[-2026;2026]$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{\sqrt{x^2-4x+m}}$ có hai tiệm cận đứng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-3;5;1)$ và $D(x_0;y_0;z_0)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính tổng $S=x_0+y_0+z_0$.

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng sau $t$ giờ kể từ khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được tính theo công thức $c(t)=\frac{3t}{t^2+4}\text{ (mg/L)}$. Sau khi tiêm thuốc bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Trong một đợt kiểm tra sức khỏe tại trường, có $200$ học sinh được xét nghiệm một loại virus. Trong đó, biết rằng có $80$ bạn thật sự bị nhiễm virus. Nếu một bạn bị nhiễm, thì xét nghiệm cho kết quả dương tính (tức là phát hiện đúng bệnh) với xác suất $90\%$. Nếu một bạn không bị nhiễm, thì xét nghiệm vẫn có thể báo nhầm là dương tính (gọi là dương tính giả), với xác suất $5\%$. Giả sử một bạn có kết quả xét nghiệm dương tính. Hỏi xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ ($0\le x\le 9,x\in \mathbb{N}$) là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt $19$ điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học, là $3$ điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

Một công ty trung bình bán được $600$ chiếc máy lọc không khí mỗi tháng với giá $10$ triệu đồng một chiếc. Một khảo sát cho thấy nếu giảm giá bán mỗi chiếc $400$ nghìn đồng, thì số lượng bán ra tăng thêm khoảng $60$ chiếc mỗi tháng. Gọi $p$ (triệu đồng) là giá của mỗi máy, $x$ là số máy bán ra. Khi đó, hàm cầu là $p=p(x)$ và hàm doanh thu là $R(p)=p\cdot x$. Hỏi công ty phải bán mỗi máy với số tiền bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?

Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty $S$ để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao $50\text{ km}$ và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh $S$ có tọa độ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh $A$ tại vị trí $A(103;204;62)$, vệ tinh $B$ tại vị trí $B(106;208;74)$, vệ tinh $C$ tại vị trí $C(105;212;134)$. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $M$ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $MA=13\text{ km}$, $MB=26\text{ km}$, $MC=85\text{ km}$. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ $O$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Một chiếc lều hình chóp có đáy là hình vuông, mỗi cạnh dài $200\text{ cm}$. Đỉnh lều nằm thẳng đứng phía trên tâm của hình vuông, và chiều cao của lều là $206\text{ cm}$. Người ta dùng $4$ cọc bằng nhau nối từ $4$ góc của đáy đến đỉnh lều để dựng lều. Chiều dài tối thiểu của mỗi cây cọc là bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm)?

Một xe mô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì tài xế giảm ga và kéo phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi phương trình: $v(t)=-4t+20\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giây. Hỏi từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

Trong mùa mưa lũ, nước ở trên thượng nguồn đổ dồn về hạ lưu rất mạnh nên thường làm lệch quỹ đạo chuyển động của tàu, thuyền trên sông. Giả sử trong một hệ trục tọa độ $Oxy$ cho trước, một chiếc thuyền đang ở tại điểm $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$ và chuyển động về phía gốc tọa độ $O$. Do dòng chảy mạnh nên thuyền di chuyển trên cung đường $AB$ là một phần của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ như hình vẽ, với $B(-1;0)$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ nằm trên cung đường di chuyển của chiếc thuyền. Khoảng cách từ $M$ đến $O$ ngắn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng thêm 8\% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu con? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).