Câu hỏi Trả lời ngắn môn Toán học có lời giải chi tiết

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m$ có điểm cực tiểu là $M(a;b)$ và $a+b=1$. Tìm giá trị của $m$.

Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả các hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 600 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 4500 con. Sức chứa của hồ được cho là 6000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số $P(t)=\frac{c}{1+a\cdot b^{-t}}$ $(a,b,c\in (0;+\infty ))$ có đồ thị dạng như hình vẽ dưới (trong đó $t$ tính theo năm kể từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ). Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta tạo thành một chiếc cột có tiết diện ngang gồm hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu đen như hình vẽ dưới đây. Diện tích tiết diện ngang lớn nhất là bao nhiêu $c{m}^2$? ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Dự án Hyperloop là các sáng kiến phát triển một hệ thống vận tải siêu tốc, hoạt động bằng cách sử dụng các cabin di chuyển trong các ống chân không, giúp giảm ma sát và đạt được tốc độ cao hơn nhiều so với các phương tiện giao thông truyền thống. Dự án này đang được phát triển bởi các công ty công nghệ và các tổ chức nghiên cứu và thử nghiệm nhằm đưa công nghệ Hyperloop vào thực tế trong tương lai gần. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một cabin chuyển động với tốc độ không đổi $100\text{ m/s}$ từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;0)$. Biết rằng cabin chuyển động cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ và cabin đi qua điểm $B$ có hoành độ bằng $9010$. Hỏi sau bao nhiêu phút từ vị trí điểm $A$ thì cabin này đến vị trí điểm $B$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*?

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=5\text{kg}$ được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Gọi $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10{\text{m/s}}^2$. Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng bao nhiêu N? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ có cạnh bằng $2$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Từ tập hợp số các số tự nhiên liên tiếp $\{1;2;3;\dots ;25;26\}$ cần chọn ra $10$ số phân biệt để gán vào $10$ ô vuông đơn vị như hình vẽ dưới đây. Gọi $T$ là số cách chọn số sao cho mọi số ở hàng trên luôn nhỏ hơn mọi số ở hàng dưới, mọi số bên trái luôn nhỏ hơn mọi số bên phải cùng hàng, đồng thời các số thuộc các ô $A,B,C,D$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị $\frac{T}{8}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD,B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_5+u_6=20$. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Một công ty bất động sản có 100 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 8 triệu đồng mỗi tháng thì tất cả các căn hộ đều được thuê và cứ mỗi lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng mỗi tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Muốn có doanh thu cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu (đơn vị tính bằng triệu đồng)?

Cho $\sin x=\frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức: $$P=\cos \left(x+\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)-\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)$$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một tác giả muốn xuất bản một cuốn sách Toán học. Biết phí xuất bản là 10 triệu đồng và giá tiền in mỗi cuốn sách là 70 000 đồng. Gọi $t$ $(t\ge 1)$ là số cuốn sách sẽ in và $f(t)$ (đơn vị nghìn đồng) là chi phí trung bình của mỗi cuốn sách. Khi đó, phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=a$, $(a\in \mathbb{R})$. Tìm $a$.

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng $m=10\text{kg}$ được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60^{\circ }$. Gọi $\vec{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn $10{\text{m/s}}^2$. Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng bao nhiêu N? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1m$. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}=(a;b;c)$, khi đó $a-c=$ ?

Cho đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x+2}{x-3}$ có đường tiệm cận xiên là $y=g(x)=ax+b$. Tính $g(-2)$?

Một bể chứa $2m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=12$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 2 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một bể chứa $3m^3$ nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ không đổi cho mỗi lít nước với tốc độ 20 lít/phút. Biết rằng nồng độ muối trong bể sau $t$ phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là một hàm số $f(t)$, thời gian $t$ tính bằng phút. Biết rằng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(t)$ là $y=11$. Nồng độ muối trong bể sau khi bơm được 1 giờ là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$ được mô phỏng ở Hình 24. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ $(-4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Biết đơn vị trên hệ trục tọa độ là dặm. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang $2,6$ dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình 24

Một cửa hàng bán cây giống với giá $80000$ đồng/cây thì bán được khoảng $40$ cây/ngày. Dự kiến nếu giảm giá mỗi cây $5000$ đồng thì số cây bán ra tăng thêm $20$ cây. Biết giá nhập mỗi cây là $50000$ đồng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận trong ngày lớn nhất? (Giả sử cửa hàng có đủ hàng).